Неопределени интеграли от sin(x), cos(x) и eˣ

Имам намерението да реша още няколко примера за намиране на примитивни функции, за да добиеш повече увереност при намирането на примитивните функции на всички основни функции, на които знаем как се намира производната. Искам да изясня, че не е задължително това да са функции на х. Тук имаме функция на t и намираме примитивната функция спрямо t. Следователно няма да запишем dx тук. Това не е означението. Ще разбереш защо, когато учим за определения интеграл. Коя е примитивната функция на този израз тук? Ще бъде същото като примитивната функция на синус от t или неопределен интеграл от синус от t, плюс неопределен интеграл, или примитивната функция на косинус от t. Плюс примитивната функция на косинус t. Нека помислим на какво са равни тези примитивни функции. Вече знаем малко повече за намирането на производни на тригонометрични функции. Знаем, че производната спрямо t от косинус t е равна на минус синус t. Ако искаме синус t тук, то следва да намерим примитивната функция на минус косинус t. Ако намерим примитивната функция на минус косинус t, то ще получим плюс синус t. Производната спрямо t от косинус t е равна на минус синус t. Имаме минус отпред. Ще стане плюс синус t. Примитивната функция на синус t е минус косинус t. Това ще бъде равно на минус косинус t. А на какво е равна примитивната функция на косинус t? Знаем, че производната спрямо t на синус t е равна на косинус t. Примитивната функция е просто синус t, така че записваме плюс синус t. И сме готови! Намерихме примитивната функция. Нека сега да видим това. Сега нямаме t. Търсим неопределен интеграл спрямо... Всъщност ето това е грешка. Тук следва да бъде спрямо a. Нека да изтрия това. Ту следва да стои da. Ако решавахме спрямо t, то просто щяхме да приемем, че тези изрази са константи. Но не искам да те обърквам сега. Нека го изясня. Това ще бъде равно на da. Това са изразите, които интегрираме, т.е. търсим примитивните функции спрямо a. На какво ще бъде равно това? Може да го запишем като сума от интеграли. Това е неопределен интеграл от e на степен а, da. Това е този израз ето тук. Ще го запиша със зелено. Плюс неопределения интеграл или примитивната функция на 1/а, da. На какво е равна примитивната функция на e на степен а? Вече знаем малко за функциите със степени. Производната спрямо х на е на степен х, е равна на е на степен х. Това е една от причините е като функция със степен да е толкова удивителна. И ако просто замениш а с х или х с а, то ще получиш, че производната спрямо а от е на степен а е равна на е на степен а. Производната тук, производната от е на степен а, т.е. примитивната функция, ще бъде равна на е на степен а. И може да добавим някакъв вид константа. Нека да не забравяме, че трябва да поставя константа ето тук. Членът константа винаги е много важен. Запомни, че има константа. Тогава записваме константа ето тук. Никога не го забравяй. Аз почти го направих. Връщаме се ето тук. На какво е равна примитивната функция на е на степен а? Равна е на е на степен а. Коя е примитивната функция на 1/а? Е, това вече го научихме от предния урок. Равна е на натурален логаритъм от модул (абсолютна стойност) от а. Искаме да имаме най-общия вид примитивна функция, така че тук също трябва да поставим константа С. И сме готови. Намерихме примитивните функции и на двата израза.