If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Интегрално смятане

Курс: Интегрално смятане > Раздел 1

Урок 7: Тълкуване на поведението на функции на натрупването
Математика
Интегрално смятане
Интеграли
Тълкуване на поведението на функции на натрупването
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Тълкуване на поведението на функции на натрупването

Класна стая на Google
Можем да използваме "разсъждения, основани на математически анализ", за да обосновем свойствата на примитивната функция на една функция, използвайки знанията си за първоначалната функция.
В диференциалното смятане разсъждавахме над свойствата на една функция f, основавайки се на дадената информация за нейната производна f′. В интегралното смятане, вместо да говорим за функции и техните производни, ще говорим за функции и техните примитивни функции.

Разсъждения върху g от графиката на g′=f

Това е графиката на функцията f.
Дадена е графиката на функцията f. Оста x е разграфена от минус 2 до 14. Графиката представлява U-образна крива, която се отваря надолу. Кривата започва в трети квадрант, движи се нагоре през точката (0; 0) до относителен максимум в точка (5; 5), слиза надолу през точка (10; 0) и завършва в четвърти квадрант.
Нека g(x)=∫0xf(t)dt. Дефинирано по този начин, g е примитивна функция на f. В диференциалното смятане бихме записали това като g′=f. Тъй като f е производната на g, можем да разсъждаме над свойствата на g, както направихме при диференциалното смятане.
Например, ако f е положителна в интервала [0;10], тогава g трябва да е растяща в този интервал.
На графиката на функцията f има област под кривата и над оста х, между пресечните точки с оста x в 0 и 10, в която има означение, че f е положителна и g е нарастваща.
Освен това f променя знака си при x=10, затова g трябва да има екстремум там. Тъй като f преминава от положителна към отрицателна, тази точка трябва да е максимум.
Графиката на функцията f пресича оста x при х = 10, което е означено като "g има локален максимум". Двете области от кривата под оста x, наляво от пресечната точка в x = 0 и надясно от пресечната точка в х = 10, са означени с надпис "f е отрицателна, g е намаляваща".
Горните примери показват как можем да правим заключения на база интервали, в които g расте или намалява, и за локалните екстремуми. Можем също да разсъждаме над изпъкналостта или вдлъбнатостта на g. Тъй като f расте в интервала [−2;5], знаем, че g е изпъкнала в този интервал. А тъй като f намалява в интервала [5;13], знаем, че g е вдлъбната в този интервал. g променя формата си при x=5, затова там има инфлексна точка.
На графиката на функцията f има относителен максимум, на който има означение, че функцията g има инфлексна точка. Над участъка от кривата наляво от максимума има означение, че функцията f е нарастваща, а функцията g е изпъкнала. Над участък от кривата вдясно от максимума има означение, че функцията f е намаляваща, а функцията g е вдлъбната.
Задача 1
Това е графиката на f.
Нека g(x)=∫0xf(t)dt.
Кое от изброените е подходяща обосновка, основана на математически анализ за факта, че g е изпъкнала в интервала (5;10)?
Избери един отговор:

Задача 2
Това е графиката на f.
Нека g(x)=∫0xf(t)dt.
Кое от изброените е подходяща обосновка, основана на математическия анализ за факта, че g има относителен минимум при x=8?
Избери един отговор:

Искаш ли да се упражняваш още? Пробвай това упражнение.
Важно е да не бъркаме кои свойства на функцията с кои свойства на примитивната функция са свързани. Много ученици се объркват и правят всякакви погрешни изводи, като да кажат, че примитивната функция е положителна, защото функцията расте (а всъщност е обратното).
Тази таблица обобщава всички взаимовръзки между свойствата на функцията и нейната примитивна функция.
Когато функцията f е...Примитивната функция g=∫axf(t)dt е...
Положителна +Растяща ↗
Отрицателна −Намаляваща ↘
Растяща ↗Изпъкнала ∪
Намаляваща ↘Вдлъбната ∩
Сменя знака си / пресича оста xЕкстремум
ЕкстремумИнфлексна точка
Задача с повишена трудност
Това е графиката на f.
Нека g(x)=∫0xf(t)dt.
Кое от изброените е подходяща обосновка, основана на математически анализ, за факта, че g е положителна в интервала (7;12)?
Избери един отговор:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.