If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Интегрално смятане

Курс: Интегрално смятане > Раздел 1

Урок 5: Дефиниране на интеграли със суми на Риман
Математика
Интегрално смятане
Интеграли
Дефиниране на интеграли със суми на Риман
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Определеният интеграл като граница на Риманова сума

Класна стая на Google
Римановите суми ни помагат да апроксимираме определени интеграли, но освен това чрез тях можем да дефинираме формално определените интеграли. Научи как се прави това и как можем да прескачаме между представяне на площ като определен интеграл и като Риманова сума.
Определените интеграли представляват лицето на областта под графиката на дадена функция и чрез Риманови суми можем да апроксимираме такива лица. Въпросът е: има ли начин да намираме точната стойност на определени интеграли?

Риманови суми с „безкрайно много“ правоъгълници

Представи си, че искаме да намерим площта под графиката на f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared между x, equals, 2 и x, equals, 6.
Дадена е графиката на функцията f. Оста х е разграфена от 1 до 8. Графиката представлява гладка крива. Кривата започва от втори квадрант, спуска се надолу до относителен минимум в точка (0; 0), издига се нагоре и завършва в първи квадрант. Областта между кривата и оста х, между x = 2 и x = 6, е оцветена.
Като използваме означенията за определен интеграл, можем да представим точната площ:
integral, start subscript, 2, end subscript, start superscript, 6, end superscript, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared, d, x
Можем да апроксимираме тази площ като използваме Риманови суми. Нека R, left parenthesis, n, right parenthesis бъде апроксимацията на тази площ с дясна Риманова сума при разделяне на интервала на n равни части (т.е. като използваме n правоъгълника с еднаква широчина).
Например, това е R, left parenthesis, 4, right parenthesis. Можеш да видиш, че това е завишена оценка на действителната площ.
На графиката на функцията f има област под кривата, разделена на 4 правоъгълника с широчина 1. Всеки правоъгълник докосва кривата с горния си десен ъгъл.
Площта под графиката на f между x, equals, 2 и x, equals, 6 е апроксимирана с помощта на 4 правоъгълника с еднакви широчини.
Можем да направим приближението по-точно, като разделим площта на повече правоъгълници с по-малки широчини, т.е. като използваме R, left parenthesis, n, right parenthesis с по-големи стойности на n.
Можеш да видиш как приближението се приближава до действителната площ с нарастването на броя правоъгълници от 1 до 100:
Графиката на функцията f е анимирана. Оцветената област се разделя на все повече и повече правоъгълници с еднаква широчина, от 1 до 100. Площите стават все по-малки, от R 1 = приблизително на 28,8 до R 100 = приблизително на 13,99.
Създадено с Geogebra.
Разбира се, използването на дори още повече правоъгълници ще ни доближи още повече до истинската стойност, но приближението винаги ще бъде само приближение.
Ами ако можехме да вземем Риманова сума с безкрайно много равни разделения? Изобщо възможно ли е? Не можем да зададем n, equals, infinity, защото безкрайността не е точно число, но може да си спомниш, че имаме начин да приближаваме нещо към безкрайност...
Граници!
По-точно, тази граница:
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, R, left parenthesis, n, right parenthesis
Изумителен факт #1: Тази граница наистина ни дава точната стойност на integral, start subscript, 2, end subscript, start superscript, 6, end superscript, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared, d, x.
Удивителен факт #2: Няма значение дали определяме границата на дясна Риманова сума, лява Риманова сума, или друга стандартна апроксимация. При безкрайност винаги ще получаваме точната стойност на определения интеграл.
(Строгото доказателство на тези факти е твърде сложно за тази статия, но това не е проблем, защото ние се интересуваме само от логиката зад връзката между Римановите суми и определените интеграли.)
Досега използвахме R, left parenthesis, n, right parenthesis като означение за апроксимацията с дясна Риманова сума с n деления. Сега да намерим действителния израз.
Бързо обобщение: Търсим start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 - start color #1fab54, start text, ш, и, р, о, ч, и, н, а, т, а, end text, end color #1fab54 на всеки от правоъгълниците - и start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd - стойността по x на дясната страна на i-ия правоъгълник. Тогава start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 ще ни даде start color #e07d10, start text, в, и, с, о, ч, и, н, а, т, а, end text, end color #e07d10 на i-ия правоъгълник.
Δx=6−2n=4nxi=2+Δx⋅i=2+4nif(xi)=15(xi)2=15(2+4ni)2\begin{aligned} \greenD{\Delta x}&=\dfrac{6-2}{n}=\greenD{\dfrac4n} \\\\ \blueD{x_i}&=2+\Delta x\cdot i=\blueD{2+\dfrac4n i} \\\\ \goldD{f(\blueD{x_i})}&=\dfrac15(x_i)^2=\goldD{\dfrac15\left(\blueD{2+\dfrac4n i}\right)^2} \end{aligned}
Така че площта на i-ия правоъгълник е start color #1fab54, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, i, end color #11accd, right parenthesis, squared, end color #e07d10, и ги сумираме за i от 1 до n:
R, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, 2, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, squared, dot, start fraction, 4, divided by, 5, n, end fraction
Сега можем да представим действителната площ като граница:
=∫2615x2 dx=lim⁡n→∞R(n)=lim⁡n→∞∑i=1n(2+4in)2⋅45n\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int_2^6 {\dfrac15x^2\,}{dx} \\\\ &=\displaystyle\lim_{n\to\infty}R(n) \\\\ &=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(2+\dfrac{4i}{n}\right)^2\cdot\dfrac{4}{5n} \end{aligned}

По дефиниция определеният интеграл е границата на Римановата сума

Примерът по-горе е частен случай на общата дефиниция за определен интеграл:
Определеният интеграл на непрекъсната функция f за интервала open bracket, a, ;, b, close bracket, означаван с integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, е границата на Риманова сума, когато броят на деленията клони към безкрайност. Т.е.
integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10
където start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction и start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd.

От нас се иска да запишем Риманова сума при даден определен интеграл...

Представи си, че от нас се иска да запишем следния интеграл като границата на Риманова сума.
integral, start subscript, pi, end subscript, start superscript, 2, pi, end superscript, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x
Първо да намерим start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54:
Δx=b−an=2π−πn=πn\begin{aligned} \greenD{\Delta x}&=\dfrac{ b- a}{n} \\\\ &=\dfrac{{2\pi}- \pi}{n} \\\\ &=\greenD{\dfrac{\pi}{n}} \end{aligned}
Сега, след като имаме start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, можем да намерим start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd:
xi=a+Δx⋅i=π+πn⋅i=π+πin\begin{aligned} \blueD{x_i}&= a+\greenD{\Delta x}\cdot i \\\\ &= \pi+\greenD{\dfrac{\pi}{n}}\cdot i \\\\ &=\blueD{\pi+\dfrac{\pi i}{n}} \end{aligned}
Следователно
integral, start subscript, pi, end subscript, start superscript, 2, pi, end superscript, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, start fraction, pi, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #11accd, pi, plus, start fraction, pi, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10

Упражнявай се в представянето на определени интеграли като граници на Риманови суми

Задача 1
integral, start subscript, 0, end subscript, cubed, e, start superscript, x, end superscript, d, x, equals, question mark
Избери един отговор:

Задача 2
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, e, end superscript, natural log, x, d, x, equals, question mark
Избери един отговор:

Често срещана грешка: Получаване на грешен израз за delta, x

Например в задача 2, можем да си представим как ученик би могъл да дефинира delta, x като start fraction, e, divided by, n, end fraction или start fraction, 1, divided by, n, end fraction вместо start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction. Или просто да използва d, x за delta, x. Запомни, че d, x се използва само в записа на интеграла и не се използва в записа на сумата. То ни показва, че интегрирането е по отношение на x.

Друга често срещана грешка: Получаване на грешен израз за x, start subscript, i, end subscript

Един ученик може да забрави да добави a към delta, x, dot, i, което би довело до грешен израз. Например в задача 2 ученикът би могъл да дефинира x, start subscript, i, end subscript като start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction, dot, i вместо 1, plus, start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction, dot, i.

Ако от нас се иска да напишем определен интеграл при дадена граница на Риманова сума...

Представи си, че от нас се иска да намерим определен интеграл, който е еквивалентен на тази граница:
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, natural log, left parenthesis, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, dot, start fraction, 5, divided by, n, end fraction
Това означава да намерим интервала на интегриране open bracket, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, ;, start color #aa87ff, b, end color #aa87ff, close bracket и подинтегралната функция start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10. Тогава съответният определен интеграл ще бъде integral, start subscript, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, end subscript, start superscript, start color #aa87ff, b, end color #aa87ff, end superscript, start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, d, x.
Знаем, че всяка Риманова сума има две части: ширина start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 и височина start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 за всеки правоъгълник, участващ в сумата. Като разглеждаме тази конкретна граница, можем да направим разумни избори и за двете части.
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54
Правоъгълници с еднаква широчина. Изразът start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54 е разумен избор за широчината на правоъгълниците, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, защото не зависи от индекса i. Това означава, че start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 ще бъде еднакво за всеки член на сумата, както бихме очаквали от Риманова сума, ширините на правоъгълниците в която са равни.
Правоъгълници с различа височина: Изразът start color #e07d10, natural log, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 зависи от i, което го прави подходящ избор за представяне на височината start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10. Най-естественият избор за start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd е start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, така че нека изберем този вариант, което означава, че функцията, която интегрираме е start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10.
За да определим границите на интегриране a и b, да си помислим за общата дефиниция на start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 и start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd във връзка с определения интеграл.
Както е дефинирано по-горе, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, equals, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, plus, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, i, space. В тази конкретна задача start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, което може да бъде записано като start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, i, така че start color #aa87ff, a, end color #aa87ff трябва да бъде равно на start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff.
Както е дефинирано по-горе, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, space. В тази конкретна задача start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, 5, divided by, n, end fraction. И двата знаменателя са n, така че числителите трябва да са равни: b, minus, a, equals, 5. Вече знаем, че start color #aa87ff, a, equals, 2, end color #aa87ff, така че можем да заключим, че start color #aa87ff, b, equals, 7, end color #aa87ff.
Като съберем всичко това, ето определен интеграл, който е равен на границата на Римановата сума:
integral, start subscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end subscript, start superscript, start color #aa87ff, 7, end color #aa87ff, end superscript, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, d, x

Упражнявай се в записването на определени интеграли при дадени Риманови суми

Задача 3.а
  • Електричен ток
Упражнение 3 ще те преведе през стъпките за намиране на определения интеграл, представен чрез израза
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, 3, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, squared, dot, start fraction, 4, divided by, n, end fraction
Какво е delta, x в този израз?
Избери един отговор:

Често срещана трудност: Затруднение при намирането на delta, x в израза за Римановата сума

Когато изразът за сумата е сложен и съдържа много дроби, може да бъде трудно да определиш коя негова част е delta, x.
Запомни, че delta, x Трябва да бъде множител на израза за сумата, във вида start fraction, k, divided by, n, end fraction, където k не съдържа сумационния индекс i.

Друга често срещана трудност: Затруднение при намирането на границите на интегриране

Забележи как в упражнение 3 фактът, че delta, x, equals, start fraction, 4, divided by, n, end fraction ни показа, че b, minus, a, equals, 4. Това ни помага, но ако не намерим a, няма да знаем нито a, нито b. Ние успяхме да намерим a, като използвахме факта, че x, start subscript, i, end subscript, equals, 3, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction.
Често срещана грешка е незабавно да предположим, че ако, например, delta, x, equals, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, тогава границите на интегриране са open bracket, 0, ;, 4, close bracket.

Последно често срещано затруднение: Трудност от общ характер при анализирането на израза

Някои ученици просто не знаят от къде да започнат.
Започни с израза за сумата. Би трябвало да можеш да идентифицираш два множителя: Един във вида start fraction, k, divided by, n, end fraction (където k не съдържа сумационния индекс i) и един, който е функция на i. Първият ще ти даде start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, а другият ще ти даде start color #11accd, f, left parenthesis, start color #e07d10, x, start subscript, i, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd.
Задача 4
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, square root of, 4, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end square root, dot, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, equals, question mark
Избери един отговор:

Искаш да се упражняваш още? Опитай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.