If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Определеният интеграл като граница на Риманова сума

Римановите суми ни помагат да апроксимираме определени интеграли, но освен това чрез тях можем да дефинираме формално определените интеграли. Научи как се прави това и как можем да прескачаме между представяне на площ като определен интеграл и като Риманова сума.
Определените интеграли представляват лицето на областта под графиката на дадена функция и чрез Риманови суми можем да апроксимираме такива лица. Въпросът е: има ли начин да намираме точната стойност на определени интеграли?

Риманови суми с „безкрайно много“ правоъгълници

Представи си, че искаме да намерим площта под графиката на f(x)=15x2 между x=2 и x=6.
Дадена е графиката на функцията f. Оста х е разграфена от 1 до 8. Графиката представлява гладка крива. Кривата започва от втори квадрант, спуска се надолу до относителен минимум в точка (0; 0), издига се нагоре и завършва в първи квадрант. Областта между кривата и оста х, между x = 2 и x = 6, е оцветена.
Като използваме означенията за определен интеграл, можем да представим точната площ:
2615x2dx
Можем да апроксимираме тази площ като използваме Риманови суми. Нека R(n) бъде апроксимацията на тази площ с дясна Риманова сума при разделяне на интервала на n равни части (т.е. като използваме n правоъгълника с еднаква широчина).
Например, това е R(4). Можеш да видиш, че това е завишена оценка на действителната площ.
На графиката на функцията f има област под кривата, разделена на 4 правоъгълника с широчина 1. Всеки правоъгълник докосва кривата с горния си десен ъгъл.
Площта под графиката на f между x=2 и x=6 е апроксимирана с помощта на 4 правоъгълника с еднакви широчини.
Можем да направим приближението по-точно, като разделим площта на повече правоъгълници с по-малки широчини, т.е. като използваме R(n) с по-големи стойности на n.
Можеш да видиш как приближението се приближава до действителната площ с нарастването на броя правоъгълници от 1 до 100:
Графиката на функцията f е анимирана. Оцветената област се разделя на все повече и повече правоъгълници с еднаква широчина, от 1 до 100. Площите стават все по-малки, от R 1 = приблизително на 28,8 до R 100 = приблизително на 13,99.
Създадено с Geogebra.
Разбира се, използването на дори още повече правоъгълници ще ни доближи още повече до истинската стойност, но приближението винаги ще бъде само приближение.
Ами ако можехме да вземем Риманова сума с безкрайно много равни разделения? Изобщо възможно ли е? Не можем да зададем n=, защото безкрайността не е точно число, но може да си спомниш, че имаме начин да приближаваме нещо към безкрайност...
Граници!
По-точно, тази граница:
limnR(n)
Изумителен факт #1: Тази граница наистина ни дава точната стойност на 2615x2dx.
Удивителен факт #2: Няма значение дали определяме границата на дясна Риманова сума, лява Риманова сума, или друга стандартна апроксимация. При безкрайност винаги ще получаваме точната стойност на определения интеграл.
(Строгото доказателство на тези факти е твърде сложно за тази статия, но това не е проблем, защото ние се интересуваме само от логиката зад връзката между Римановите суми и определените интеграли.)
Досега използвахме R(n) като означение за апроксимацията с дясна Риманова сума с n деления. Сега да намерим действителния израз.
Бързо обобщение: Търсим Δx - широчината на всеки от правоъгълниците - и xi - стойността по x на дясната страна на i-ия правоъгълник. Тогава f(xi) ще ни даде височината на i-ия правоъгълник.
Δx=62n=4nxi=2+Δxi=2+4nif(xi)=15(xi)2=15(2+4ni)2
Така че площта на i-ия правоъгълник е 4n15(2+4ni)2, и ги сумираме за i от 1 до n:
R(n)=i=1n(2+4in)245n
Сега можем да представим действителната площ като граница:
=2615x2dx=limnR(n)=limni=1n(2+4in)245n

По дефиниция определеният интеграл е границата на Римановата сума

Примерът по-горе е частен случай на общата дефиниция за определен интеграл:
Определеният интеграл на непрекъсната функция f за интервала [a;b], означаван с abf(x)dx, е границата на Риманова сума, когато броят на деленията клони към безкрайност. Т.е.
abf(x)dx=limni=1nΔxf(xi)
където Δx=ban и xi=a+Δxi.

От нас се иска да запишем Риманова сума при даден определен интеграл...

Представи си, че от нас се иска да запишем следния интеграл като границата на Риманова сума.
π2πcos(x)dx
Първо да намерим Δx:
Δx=ban=2ππn=πn
Сега, след като имаме Δx, можем да намерим xi:
xi=a+Δxi=π+πni=π+πin
Следователно
π2πcos(x)dx=limni=1nπncos(π+πin)

Упражнявай се в представянето на определени интеграли като граници на Риманови суми

Задача 1
03exdx=?
Избери един отговор:

Задача 2
1elnxdx=?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: Получаване на грешен израз за Δx

Например в задача 2, можем да си представим как ученик би могъл да дефинира Δx като en или 1n вместо e1n. Или просто да използва dx за Δx. Запомни, че dx се използва само в записа на интеграла и не се използва в записа на сумата. То ни показва, че интегрирането е по отношение на x.

Друга често срещана грешка: Получаване на грешен израз за xi

Един ученик може да забрави да добави a към Δxi, което би довело до грешен израз. Например в задача 2 ученикът би могъл да дефинира xi като e1ni вместо 1+e1ni.

Ако от нас се иска да напишем определен интеграл при дадена граница на Риманова сума...

Представи си, че от нас се иска да намерим определен интеграл, който е еквивалентен на тази граница:
limni=1nln(2+5in)5n
Това означава да намерим интервала на интегриране [a;b] и подинтегралната функция f(x). Тогава съответният определен интеграл ще бъде abf(x)dx.
Знаем, че всяка Риманова сума има две части: ширина Δx и височина f(xi) за всеки правоъгълник, участващ в сумата. Като разглеждаме тази конкретна граница, можем да направим разумни избори и за двете части.
limni=1nln(2+5in)5n
Правоъгълници с еднаква широчина. Изразът 5n е разумен избор за широчината на правоъгълниците, Δx, защото не зависи от индекса i. Това означава, че Δx ще бъде еднакво за всеки член на сумата, както бихме очаквали от Риманова сума, ширините на правоъгълниците в която са равни.
Правоъгълници с различа височина: Изразът ln(2+5in) зависи от i, което го прави подходящ избор за представяне на височината f(xi). Най-естественият избор за xi е 2+5in, така че нека изберем този вариант, което означава, че функцията, която интегрираме е f(x)=ln(x).
За да определим границите на интегриране a и b, да си помислим за общата дефиниция на Δx и xi във връзка с определения интеграл.
Както е дефинирано по-горе, xi=a+Δxi . В тази конкретна задача xi=2+5in, което може да бъде записано като 2+5ni, така че a трябва да бъде равно на 2.
Както е дефинирано по-горе, Δx=ban . В тази конкретна задача Δx=5n. И двата знаменателя са n, така че числителите трябва да са равни: ba=5. Вече знаем, че a=2, така че можем да заключим, че b=7.
Като съберем всичко това, ето определен интеграл, който е равен на границата на Римановата сума:
27ln(x)dx

Упражнявай се в записването на определени интеграли при дадени Риманови суми

Задача 3.а
Упражнение 3 ще те преведе през стъпките за намиране на определения интеграл, представен чрез израза
limni=1n(3+4in)24n
Какво е Δx в този израз?
Избери един отговор:

Често срещана трудност: Затруднение при намирането на Δx в израза за Римановата сума

Когато изразът за сумата е сложен и съдържа много дроби, може да бъде трудно да определиш коя негова част е Δx.
Запомни, че Δx Трябва да бъде множител на израза за сумата, във вида kn, където k не съдържа сумационния индекс i.

Друга често срещана трудност: Затруднение при намирането на границите на интегриране

Забележи как в упражнение 3 фактът, че Δx=4n ни показа, че ba=4. Това ни помага, но ако не намерим a, няма да знаем нито a, нито b. Ние успяхме да намерим a, като използвахме факта, че xi=3+4in.
Често срещана грешка е незабавно да предположим, че ако, например, Δx=4n, тогава границите на интегриране са [0;4].

Последно често срещано затруднение: Трудност от общ характер при анализирането на израза

Някои ученици просто не знаят от къде да започнат.
Започни с израза за сумата. Би трябвало да можеш да идентифицираш два множителя: Един във вида kn (където k не съдържа сумационния индекс i) и един, който е функция на i. Първият ще ти даде Δx, а другият ще ти даде f(xi).
Задача 4
limni=1n4+5in5n=?
Избери един отговор:

Искаш да се упражняваш още? Опитай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.