Разработен пример: Преобразуване на определен интеграл като граница на Риманова сума

Нека да упражним записването на определени интеграли като граница на Риманова сума. Нека да кажем, че искам да изчисля определения интеграл от π до 2π от косинус от х по dx. Искам да го запиша като граница на Риманова сума, когато n клони към безкрайност. Ще приеме вида на граница, когато n клони към безкрайност, и може да използваме означението сигма ето тук. И ще го запиша като... Нека да кажем, че i е равно от 1 до n. Нека да сляза малко надолу, за да имам повече място отгоре. Нека начертая това, което действително се случва, така че да добием по-добро усещане какво да запишем тук в означението за сума сигма. Нека го направя голямо. Ако това ето тук е π, то това ще бъде 3π/2, а това тук ще бъде 2π. А как изглежда графиката на косинус от х? В точка π косинус от π е равно на минус 1. Тук имаме минус 1. Косинус от 2π е равно на 1. Графиката ще изглежда като нещо такова. Това очевидно ще е ръчно направена версия на графиката. От преди знаеш как изглежда функцията косинус, а това е само част от нея. Този определен интеграл представлява площта от π до 2π, между кривата и оста х. И вече може би знаеш, че тази площ, или тази част от определения интеграл ще бъде отрицателна. а тази площ ще бъде положителна. Тогава двете ще се унищожат и действително за площта ще се получи нула. Целта на настоящия урок обаче, е да запишем това като граница на Риманова сума, когато n клони към безкрайност. Това е Римановата сума и искаме да разделим този интервал на множество правоъгълници. Нека да кажем, че са n на брой правоъгълници. Това е първият правоъгълник ето тук. Това може да е втория. Нека да съставим дясна Риманова сума, където дясната граница на правоъгълника, или стойността на функцията в тази точка, е това, което дефинира височината. Това е вторият правоъгълник и така докато не достигнем дотук, където този ще бъде n-ят. Нека го запиша по следния начин. Това е i равно на 1. Това е i равно на 2, и така докато не достигнем до i е равно на n. След това ако намерим границата, когато n клони към безкрайност, то сумата от лицата на тези правоъгълници ще бъде все по-точна и по-точна. Нека първо да помислим върху това, на какво е равна широчината на всеки от правоъгълниците? Вземам този интервал от π до 2π и ще го разделя на n равни интервала. Тогава широчината на всеки от тези... Широчината на всеки от тези ще бъде 2π минус π, така че просто намирам разликата между границите, в които ще интегрирам. Разделям я на n, което е равно на π/n. Следователно това е широчината на всеки един правоъгълник. Това е π/n, това е π/n, това е π/n. А каква е височината на всеки един от тези правоъгълници? Спомни си, че това е дясна Риманова сума. Десният край на всеки един правоъгълник ще дефинира височината. На какво ще бъде равна ето тази височина тук? Тази височина, или следва да кажа тази стойност, на f от какво ще бъде равна? Това е π, а това ще бъде π плюс ето това, т.е. дължината на интервала, или основата на правоъгълника. Започваме в π, така че ще бъде π плюс това, което е π/n, умножено по 1. Това е тази височина ето тук. А на какво ще бъде равна тази тук? Ще бъде равна на f от π, т.е. стартовата точка, плюс π/n, умножено по какво? Ще имаме π/n два пъти. π/n, умножено по 2. Общата форма на дясната граница, ще изглежда по следния начин. Например тази височина ето тук, ще бъде f от... Започнахме от π, образуваме дясна Риманова сума, така че ще прибавим π/n n пъти, докато достигнем до тази точка. π/n, умножено по n. Може да го обобщим, когато става дума за i-я правоъгълник. Спомни си, че ги сумираме всичките. На какво е равна височината? Височината в този случай ще бъде косинус от π плюс нещо. Ако се намираме в i-я правоъгълник, то ще прибавим π/n i пъти. π/n, умножено по i. Следователно това е височината на всеки правоъгълник. А на какво е равна широчината? Вече я намерихме. Умножено по π/n. Ако искаш да провериш дали така записания израз за сигма е приложим за целия интервал, сега вече можеш да го направиш. Току-що изразихме по друг начин този определен интеграл като граница на дясна Риманова сума.