Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Разработен пример: Преобразуване на определен интеграл като граница на Риманова сума

По даден израз за определен интеграл можем да запишем съответната граница на Риманова сума с безкрайно много правоъгълници.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Нека да упражним записването на определени интеграли като граница на Риманова сума. Нека да кажем, че искам да изчисля определения интеграл от π до 2π от косинус от х по dx. Искам да го запиша като граница на Риманова сума, когато n клони към безкрайност. Ще приеме вида на граница, когато n клони към безкрайност, и може да използваме означението сигма ето тук. И ще го запиша като... Нека да кажем, че i е равно от 1 до n. Нека да сляза малко надолу, за да имам повече място отгоре. Нека начертая това, което действително се случва, така че да добием по-добро усещане какво да запишем тук в означението за сума сигма. Нека го направя голямо. Ако това ето тук е π, то това ще бъде 3π/2, а това тук ще бъде 2π. А как изглежда графиката на косинус от х? В точка π косинус от π е равно на минус 1. Тук имаме минус 1. Косинус от 2π е равно на 1. Графиката ще изглежда като нещо такова. Това очевидно ще е ръчно направена версия на графиката. От преди знаеш как изглежда функцията косинус, а това е само част от нея. Този определен интеграл представлява площта от π до 2π, между кривата и оста х. И вече може би знаеш, че тази площ, или тази част от определения интеграл ще бъде отрицателна. а тази площ ще бъде положителна. Тогава двете ще се унищожат и действително за площта ще се получи нула. Целта на настоящия урок обаче, е да запишем това като граница на Риманова сума, когато n клони към безкрайност. Това е Римановата сума и искаме да разделим този интервал на множество правоъгълници. Нека да кажем, че са n на брой правоъгълници. Това е първият правоъгълник ето тук. Това може да е втория. Нека да съставим дясна Риманова сума, където дясната граница на правоъгълника, или стойността на функцията в тази точка, е това, което дефинира височината. Това е вторият правоъгълник и така докато не достигнем дотук, където този ще бъде n-ят. Нека го запиша по следния начин. Това е i равно на 1. Това е i равно на 2, и така докато не достигнем до i е равно на n. След това ако намерим границата, когато n клони към безкрайност, то сумата от лицата на тези правоъгълници ще бъде все по-точна и по-точна. Нека първо да помислим върху това, на какво е равна широчината на всеки от правоъгълниците? Вземам този интервал от π до 2π и ще го разделя на n равни интервала. Тогава широчината на всеки от тези... Широчината на всеки от тези ще бъде 2π минус π, така че просто намирам разликата между границите, в които ще интегрирам. Разделям я на n, което е равно на π/n. Следователно това е широчината на всеки един правоъгълник. Това е π/n, това е π/n, това е π/n. А каква е височината на всеки един от тези правоъгълници? Спомни си, че това е дясна Риманова сума. Десният край на всеки един правоъгълник ще дефинира височината. На какво ще бъде равна ето тази височина тук? Тази височина, или следва да кажа тази стойност, на f от какво ще бъде равна? Това е π, а това ще бъде π плюс ето това, т.е. дължината на интервала, или основата на правоъгълника. Започваме в π, така че ще бъде π плюс това, което е π/n, умножено по 1. Това е тази височина ето тук. А на какво ще бъде равна тази тук? Ще бъде равна на f от π, т.е. стартовата точка, плюс π/n, умножено по какво? Ще имаме π/n два пъти. π/n, умножено по 2. Общата форма на дясната граница, ще изглежда по следния начин. Например тази височина ето тук, ще бъде f от... Започнахме от π, образуваме дясна Риманова сума, така че ще прибавим π/n n пъти, докато достигнем до тази точка. π/n, умножено по n. Може да го обобщим, когато става дума за i-я правоъгълник. Спомни си, че ги сумираме всичките. На какво е равна височината? Височината в този случай ще бъде косинус от π плюс нещо. Ако се намираме в i-я правоъгълник, то ще прибавим π/n i пъти. π/n, умножено по i. Следователно това е височината на всеки правоъгълник. А на какво е равна широчината? Вече я намерихме. Умножено по π/n. Ако искаш да провериш дали така записания израз за сигма е приложим за целия интервал, сега вече можеш да го направиш. Току-що изразихме по друг начин този определен интеграл като граница на дясна Риманова сума.