Разработен пример: Представяне на граница на Риманова сума като определен интеграл

Дадена е Риманова сума. Ще изчислим границата ѝ, когато n клони към безкрайност. Целта на настоящия урок, е да проверим дали можем да представим тази граница като определен интеграл. Насърчавам те да спреш видеото и да видиш дали можеш да се справиш самостоятелно. Нека да си припомним как определеният интеграл е свързан с Римановата сума. Даден е определен интеграл от a до b, от f от x dx. В предни уроци видяхме, че това ще бъде равно на границата, когато n клони към безкрайност, от сумата сигма, като i е в интервала от 1 до n. Действително образуваме сумата от лицата на множество правоъгълници, където широчината на всеки един от тях може да се представи като dx (делта х). Широчината ще бъде равна на делта х за всеки от тези правоъгълници. Височината ще бъде равна на стойността на функцията, изчислена за някакво място в този интервал делта х. Ако образуваме дясна Риманова сума, вземаме дясната граница на правоъгълника, или на този подинтервал. Следователно започваме от долната граница а и прибавяме толкова пъти делта х, колкото са зададени в индекса ( i ). Ако i е равно на 1, ще прибавим един път делта х. Намираме се в десния край на първия правоъгълник. Ако i е равно на 2, то прибавяме 2 пъти делта х. Тогава тук ще запиша делта х, умножено по индекса i. Ето това е общата форма, която сме виждали преди. Възможно е дори да потърсиш съответствия в модела на запис ето тук. Функцията изглежда като натурален логаритъм, т.е. ето това изглежда като функцията f от х, или функцията натурален логаритъм. Мога да го запиша. f от х изглежда като натурален логаритъм от х. Какво друго виждаме тук? Това 2 изглежда като стойността а. а е равно на 2. А на какво е равно делта х? Може да разгледаш това тук, или числото, по което умножаваме, и което е разделено на n. Това не е умножение по i, т.е. изглежда като делта х. А пък този израз тук изглежда като делта х, умножено по i. Тогава изглежда, че делта х е равно на 5/n. Добре, какво открихме дотук? Може да кажем, че този израз тук горе, т.е. първоначалният израз, ще бъде равен на следния определен интеграл. Знаем, че долната граница започва от 2, но все още не сме дефинирали горната граница. Все още не сме намерили числото b. Дадената функция обаче е натурален логаритъм от х, така че просто ще запиша dx ето тук. За да завърша със записа на този определен интеграл, следва да мога да запиша горната граница. Начинът да намеря горната граница, е като използвам делта х, защото начинът, по който намираме делта х за Римановата сума тук, е следният. Казваме, че делта х е равно на разликата между двете граници, разделена на броя на участъците, на които искаме да разделим интервала, т.е. разделено на n. Тогава делта х е равно на b минус а... b минус а, върху n. Отново търсим съответствие ето тук. Ето това делта х е равно на b минус а върху n. Нека го запиша. Това ще бъде равно на b минус a, което е равно на 2, и цялото върху n. Тогава b минус 2 е равно на 5. Което означава, че b е равно на 7. b е равно на 7. Ето че намерихме горната граница. Разполагаме с първоначалната граница, т.е. границата на Римановата сума, записана като определен интеграл. И отново искам да наблегна на това защо това има смисъл. Ако искахме да начертаем това, то би изглеждало по следния начин. Ще опитам да начертая функцията натурален логаритъм на ръка. Изглежда като нещо такова. Това ето тук ще бъде равно на 1. Нека да изберем ето тук да е 2. И така стигаме от 2 до 7. Така направено не е съвсем точно. Определеният интеграл представлява площта под кривата от 2 до 7. А тази Риманова сума може да се разглежда като приближение, т.е. когато n не клони към безкрайност, а това, което правим, е следното. Когато i е равно на 1, първият участък има широчина от 5/n. Всъщност това представлява разликата между 2 и 7. Вземаме тази разлика от 5 и я разделяме на n броя правоъгълници. Тогава първият ще има широчина от 5/n. А на какво ще бъде равна височината му? Дадената Риманова сума е дясна, т.е. изчисляваме стойността на функцията ето тук, която е 2 плюс 5/n. Вземаме тази стойност ето тук. Това е натурален логаритъм... Натурален логаритъм от 2 плюс 5/n. И това е първият правоъгълник, т.е. умножаваме по 1. Продължаваме по същия начин. Следващият ето тук има същата широчина 5/n. На какво обаче е равна височината му? Височината тук...Тази височина точно тук ще бъде равна на натурален логаритъм от 2 плюс 5/n по 2. Това тук е за i равно на 2. Това е за i равно на 1. Надявам се, че разбираш защо това е вярно. Лицето на първия правоъгълник ще бъде натурален логаритъм от 2 плюс 5/n по 1, и умножено по 5/n. А лицето на втория правоъгълник ето тук, е равно на натурален логаритъм от 2 плюс 5/n по 2, и умножено по 5/n. Това представлява изчислението на сумата от лицата на тези правоъгълници. Границата на сумата, когато n клони към безкрайност, ни дава все по-точно и по-точно приближение, докато не намерим истинската площ.