If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: Интегрално смятане > Раздел 1

Урок 6: Фундаментална теорема на анализа и функции на натрупването

Намиране на производна с фундаменталната теорема на анализа

Фундаменталната теорема на анализа ни казва, че производната на определен интеграл от 𝘢 до 𝘹 от ƒ(𝑡)𝘥𝑡 е ƒ(𝘹), при условие, че ƒ е непрекъсната. Виж как може да се използва това за намиране на производни на функции на натрупването. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Нека имаме функцията g(х), която е равна на определен интеграл от 19 до х от корен трети от t, dt. Любопитен съм да намеря или да опитам да определя колко е g'(27). На колко е равно? Спри видеото на пауза и помисли, а аз ще ти дам една подсказка. Спомни си втората фундаментална теорема на анализа. Добре, сега да го направим заедно. Значи искаме да намерим колко е g'(х) и после да го сметнем за х = 27. Най-добрият начин, за който се сещам, е да намерим производната на двете страни на това равенство. Да намерим производната на двете страни на равенството.. Отляво ще намерим производната спрямо х на g(х) отдясно производната спрямо х на целия този израз. Лявата страна е много лесна. Производната спрямо х на g(х) ще бъде g'(х), но на какво ще е равна дясната страна? Тук идва на помощ втората фундаментална теорема на анализа. Ще я запиша ето тук. Втората фундаментална – ще съкратя малко – теорема на анализа. Съгласно нея, да кажем, че имаме някаква функция F(х), която е равна на определен интеграл от а, някаква константа а, до х, от f(t) dt. Според втората фундаментална теорема на анализа, ако нашата функция f е непрекъсната в интервала от а до х, ще го запиша по този начин, в затворения интервал от а до х, тогава производната на нашето F(х), значи F'(х) ще е равно на функцията под интеграла, изчислена за х, вместо за t, ще стане f(х). Знам, че когато видиш това за пръв път, ще си помислиш: "Хей, това трябва да е начин на записване, който не използваш твърде често.". Но ще видиш, че това е много, много полезно. И даже в бъдеще, а може би вече знаеш, че има много начини да представим определен интеграл, и ще учиш това в бъдеще. Но това може да е много голямо опростяване, особено ако имаш такъв сложен определен интеграл като този, и това ни казва просто: "Виж, производната спрямо х на целия този израз, първо трябва да проверим вътрешната функция, която ще е идентична на нашето f(х) тук, дали тя е непрекъсната в интервала от 19 до х? Няма значение колко е х, това ще бъде непрекъснато в този интервал, защото е непрекъсната за всички стойности на х, така че е изпълнено първото условие или главното условие. После можем просто да кажем, тогава производната на този целият израз ще бъде тази вътрешна функция, като заменим t с х. Ще получим корен трети от – вместо от t, ще е корен трети от х. Тогава можем да се върнем към първоначалния въпрос: колко е g'(27)? То ще бъде равно на корен трети от 27, което е равно на 3, и сме готови.