Намиране на производна с фундаменталната теорема на анализа

Нека имаме функцията g(х), която е равна на определен интеграл от 19 до х от корен трети от t, dt. Любопитен съм да намеря или да опитам да определя колко е g'(27). На колко е равно? Спри видеото на пауза и помисли, а аз ще ти дам една подсказка. Спомни си втората фундаментална теорема на анализа. Добре, сега да го направим заедно. Значи искаме да намерим колко е g'(х) и после да го сметнем за х = 27. Най-добрият начин, за който се сещам, е да намерим производната на двете страни на това равенство. Да намерим производната на двете страни на равенството.. Отляво ще намерим производната спрямо х на g(х) отдясно производната спрямо х на целия този израз. Лявата страна е много лесна. Производната спрямо х на g(х) ще бъде g'(х), но на какво ще е равна дясната страна? Тук идва на помощ втората фундаментална теорема на анализа. Ще я запиша ето тук. Втората фундаментална – ще съкратя малко – теорема на анализа. Съгласно нея, да кажем, че имаме някаква функция F(х), която е равна на определен интеграл от а, някаква константа а, до х, от f(t) dt. Според втората фундаментална теорема на анализа, ако нашата функция f е непрекъсната в интервала от а до х, ще го запиша по този начин, в затворения интервал от а до х, тогава производната на нашето F(х), значи F'(х) ще е равно на функцията под интеграла, изчислена за х, вместо за t, ще стане f(х). Знам, че когато видиш това за пръв път, ще си помислиш: "Хей, това трябва да е начин на записване, който не използваш твърде често.". Но ще видиш, че това е много, много полезно. И даже в бъдеще, а може би вече знаеш, че има много начини да представим определен интеграл, и ще учиш това в бъдеще. Но това може да е много голямо опростяване, особено ако имаш такъв сложен определен интеграл като този, и това ни казва просто: "Виж, производната спрямо х на целия този израз, първо трябва да проверим вътрешната функция, която ще е идентична на нашето f(х) тук, дали тя е непрекъсната в интервала от 19 до х? Няма значение колко е х, това ще бъде непрекъснато в този интервал, защото е непрекъсната за всички стойности на х, така че е изпълнено първото условие или главното условие. После можем просто да кажем, тогава производната на този целият израз ще бъде тази вътрешна функция, като заменим t с х. Ще получим корен трети от – вместо от t, ще е корен трети от х. Тогава можем да се върнем към първоначалния въпрос: колко е g'(27)? То ще бъде равно на корен трети от 27, което е равно на 3, и сме готови.