Намиране на производна с фундаменталната теорема на анализа: верижно правило (за диференциране на сложна функция)

Да кажем, че имаме функцията F(х), която ще дефинираме като определен интеграл от 1 до синус от х, тук имаме интересна горна граница – от 2t – 1, dt, разбира се. Любопитни сме да намерим на колко е равно F'(х). Спри видеото на пауза и виж дали можеш да го определиш. Добре. Може би те затруднява този начин на записване, когато горната граница не е х, а в този случай е синус от х. Ако беше просто х, можеше да използваме фундаменталната теорема на анализа. Само да преговорим, ако имаме някаква функция, ще я нарека h(х), ако имаме h(х) е равна на определения интеграл от 1 до х от (2t – 1), dt, от фундаменталната теорема на анализа знаем, че h'(х) ще е равно просто на вътрешната функция, като заменим t с х. Щеше да бъде (2х – 1), много лесно. Но това не е толкова лесно. Вместо х тук горе, горната граница е синус от х. Един начин да разглеждаме това, е ако дефинираме g(х), която е равна на синус от х, тогава нашето F(х) може да изразим като е равна на h от, вместо от х, навсякъде, където има х, го заместваме със синус от х, значи става h(g(х)). Можеш да видиш g(х) ето тук. Значи заместваме x с g(х) и в този израз получаваш h(g(х)) и това е F(х). Защо правя всичко това? Това може би ти напомня за правилото за производна на сложна функция. Ако това е вярно, това означава, че F'(х) ще е равно на h'(g(х)), по g'(х). Колко е това? Вече знаем колко е h'(х), искам да го направя с различен цвят. Тази част ето тук е равна – навсякъде, където има х, ще го заместя с g(х), и става 2 по синус от х минус едно. Това е това ето тук, и сега, колко е g'(х)? g'(х), разбира се, производната на синус от х е косинус от х, значи е косинус от х. Тази част ето тук е равна на косинус от х. И можеш да продължиш. Можем да опитаме да опростим малко или да го запишем по различни начини, но отговорът е това.