Примитивни функции и неопределени интеграли

Знаем как да намираме производни на функции. Ако приложа правилата за намиране на производна към функцията х квадрат, то за производната ѝ ще получа 2х. Ако приложа правилата за намиране на производна към функцията х квадрат плюс 1, отново ще получа за производната ѝ 2х. Ако приложа правилата за намиране на производна към х квадрат плюс π, отново ще получа производна 2х. Производната на х квадрат е 2х. Производна спрямо х от π, т.е. от константа, е равна на 0. Производна спрямо х от 1, т.е. отново константа, е равна на 0. И отново, това просто ще бъде равно на 2х. Да обобщим: производната спрямо х на функцията х квадрат плюс коя да е константа (C), е равна само на 2х. Производната на функцията х квадрат спрямо х е равна на 2х. Производна от константа спрямо х – а константата не се променя спрямо х – е просто равна на 0. Прилагаш правилата за намиране на производна към всяка една от тези функции и получаваш 2х. Нека сега да направим обратното. Да помислим за примитивните функции. Възможен начин да го разглеждаш е, че все едно извършваш обратната операция на намирането на производната. Правилата за намиране на производна, приложени към функция, ни дават производната на функцията. Сега искаме обратното – да намерим на коя функция може да е производна даденото. Тоест, ако някой ни даде израза 2х... Нека да го запиша. Да кажем, че някой те попита: "На какво е производна изразът 2х?" Всъщност те питат за примитивната функция. Можеш да отговориш, че 2х е производната на х квадрат. Може да кажеш също, че 2х е производна на х квадрат плюс 1. Може също да кажеш, че 2х е производна на х квадрат плюс π. Предполагам, че разбираш основната идея. Ако искаме да го запишем в общия случай, то следва да запишем, че 2х е производната на х квадрат плюс някаква константа. Това е нещото, което отговаря на примитивната функция на 2х. Но все пак е някак неудобно да записваме изречение като това. Така че нека да намерим някакво означение за примитивната функция. А установеното такова е малко странно означение, което е голямо и удължено S и изглежда ето така. И dx след функцията, на която търсим примитивната функция. В такъв случай ще изглежда като нещо такова. Това е начин да кажем, че това е равно на примитивната функция на 2х, а ние видяхме вече, че примитивната функция на 2х е равна на х квадрат плюс C. Може би ще попиташ: Защо трябва да използваме това странно означение? Ще стане по-разбираемо, когато изучим "определен интеграл", площи под криви и намиране на суми от лица на правоъгълници, за да апроксимираме площ под крива. Тук следва просто да го разглеждаме като означение за примитивната функция. А това означение тук, т.е. цялото това означение, се нарича "неопределен интеграл" от 2х. Това е просто друг начин да кажем, че е "примитивната функция" на 2х.