Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 1
Урок 9: Фундаменталната теорема на математическия анализ и определени интеграли- Фундаменталната теорема на математическия анализ и определени интеграли
- Фундаменталната теорема на математическия анализ и определени интеграли
- Примитивни функции и неопределени интеграли
- Примитивни функции и неопределени интеграли
- Доказателство на фундаменталната теорема на математическия анализ
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Фундаменталната теорема на математическия анализ и определени интеграли
Действително има два варианта на фундаменталната теорема на математическия анализ, и ще научим каква е връзката между тях. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Нека да имаме дадена една функция f, която е непрекъсната в интервала
между c и d. Ще използвам c и d вместо
a и b, за да запазя a и b за по-късно. И нека да дефинираме една функция голямо F от х, която дефинира площта под кривата между c и някаква
стойност х, където х е в този интервал, където f
e непрекъсната. Това е площта под кривата
и между с и х. Това тук е х. Площта е под
кривата f от t, dt. Това ето тук, F от х, е тази площ. Тази площ тук е F от х. Фундаменталната теорема на анализа гласи, че ако f е непрекъсната в този
интервал, то F от х е диференцируема за всяка точка х
в този интервал. И производната на главно F от х...
Нека да го изясня. Главно F от х е диференцируема за
всяка възможна стойност на х в интервала от c до d, а производната на главно F от х ще бъде равна на
малко f от х. Дотук добре. В настоящия урок искам да направя връзка между
фундаменталната теорема на анализа и нейната втора част, или втората
фундаментална теорема на анализа, която използваме, за да изчисляваме
определени интеграли. Нека да помислим на какво е равно
F от b минус F от a, като a и b също са в този интервал. Ще предположим, че b е
по-голямо от а. Да кажем, че b е това число тук. Ще го запиша със същия цвят. Нека да кажем, че b е ето тук. F от b ще бъде равно на... Просто
заместихме b там, където имаме х. Ще бъде равно на определен интеграл между
c и b, f от t, dt, което е още един начин да
представим площта под кривата между c и b. Това е F от b, главно F от b, т.е. цялата тази площ ето тук. И от нея искаме да извадим главно F от a, което е просто интегралът между
c и a, от малко f от t, dt. Нека кажем, че това тук е числото а. Главно F от а всъщност е ето тази
площ между с и а под кривата малко f от t. Тоест тази площ ето тук. Цялата тази площ тук. Какво ще се получи, ако имаш цялата
тази площ, т.е. ето това, и извадиш от нея тази лилава площ? Какво остава като резултат? Остава ето тази зелена площ тук. А как да я представим? Как да опишем тази площ? Може да я означим като определен
интеграл между a и b, f от t, dt. Ето, че го направихме. Това тук е втората фундаментална
теорема на анализа. Тя гласи, че ако f е непрекъсната
в този интервал, то този интеграл ще бъде равен на примитивната функция на малко f. И ето тук виждаме, че главно F е примитивната функция на малко f. Може да запишем, че главно F е
примитивната функция – точно така дефинирахме главно F.
Или всъщност не сме я дефинирали по този начин, но
фундаменталната теорема на анализа ни казва, че главно F е примитивната функция на малко f. Тоест изразът тук гласи, че ако имаш определен интеграл
като този, то той е абсолютно еквивалентен
на примитивната си функция, изчислена за b, и от това вадим
изчислената ѝ стойност за a. Обикновено изглежда по следния
начин. Просто размених реда. Определен интеграл от a до b, f от t, dt е равно на примитивната функция от f, т.е. главно F, изчислено в точка b, и от това изваждаме примитивната функция,
изчислена в точка а. Ето това е втората част от
фундаменталната теорема на анализа или втората
фундаментална теорема на анализа. Тя е основната част на курса
по интегрално смятане, защото е начинът, по който наистина
се изчисляват определени интеграли.