If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Обобщение върху несобствени интеграли

Прегледай знанията си върху несобствени интеграли.

Какво е несобствен интеграл?

Несобствените интеграли са определени интеграли, които покриват неограничена площ.
Един от видовете несобствени интеграли е интеграл, в който поне една от крайните точки е изтеглена до безкрайност. Например integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x е несобствен интеграл. Той може да се разглежда като границата limit, start subscript, b, \to, infinity, end subscript, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, b, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x.
Друг вид несобствен интеграл е интеграл, при който крайните точки са ограничени, но интегрираната функция е неограничена в едната (или двете) от тях. Например integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x е несобствен интеграл. Той може да се разглежда като границата limit, start subscript, a, \to, 0, start superscript, plus, end superscript, end subscript, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x.
Неограничена площ, която не е безкрайна? Това истина ли е? Ами, да! Не всеки несобствен интеграл има крайна стойност, но някои от тях определено имат. Когато границата съществува, казваме, че интегралът е сходящ, а когато не съществува, казваме, че е разходящ.
Искаш ли да научиш още за несобствените интеграли? Виж това видео.

Упражнения 1: Изчисляване на несобствени интеграли с неограничени крайни точки

Нека изчислим, например, несобствения интеграл integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x. Както казахме по-рано, полезно е да се разглежда този интеграл като границата limit, start subscript, b, \to, infinity, end subscript, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, b, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x. Можем да използваме фундаменталната теорема на анализа, за да намерим израза за интеграла:
1b1x2dx=1bx2dx=[x11]1b=[1x]1b=1b(11)=11b\begin{aligned} \displaystyle\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx&=\displaystyle\int_1^b x^{-2}\,dx \\\\ &=\left[\dfrac{x^{-1}}{-1}\right]_1^b \\\\ &=\left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^b \\\\ &=-\dfrac{1}{b}-\left(-\dfrac{1}{1}\right) \\\\ &=1-\dfrac{1}{b} \end{aligned}
Сега се отървахме от интеграла и трябва да сметнем граница:
limb1b1x2dx=limb(11b)=10=1\begin{aligned} \displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx&=\displaystyle\lim_{b\to\infty}\left(1-\dfrac{1}{b}\right) \\\\ &=1-0 \\\\ &=1 \end{aligned}
Задача 1.1
  • Електричен ток
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, cubed, end fraction, d, x, equals, question mark
Избери един отговор:

Искаш ли да решаваш още такива задачи? Пробвай това упражнение.

Упражнения 2: Изчисляване на несобствени интеграли с неограничени функции

Нека изчислим, например, несобствения интеграл integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x. Както казахме по-рано, полезно е да се разглежда този интеграл като границата limit, start subscript, a, \to, 0, end subscript, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x. Отново ще използваме фундаменталната теорема на анализа, за да намерим израз за интеграла:
a11xdx=a1x12dx=[x1212]a1=[2x]a1=212a=22a\begin{aligned} \displaystyle\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx&=\displaystyle\int_a^1 x^{^{\large -\frac{1}{2}}}\,dx \\\\ &=\left[\dfrac{x^{^{\large\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2}}\right]_a^1 \\\\ &=\Bigl[2\sqrt x\Bigr]_a^1 \\\\ &=2\sqrt 1-2\sqrt a \\\\ &=2-2\sqrt a \end{aligned}
Сега се отървахме от интеграла и трябва да сметнем граница:
lima0a11xdx=lima0(22a)=220=2\begin{aligned} \displaystyle\lim_{a\to 0}\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx&=\displaystyle\lim_{a\to 0}(2-2\sqrt a) \\\\ &=2-2\cdot 0 \\\\ &=2 \end{aligned}
Задача 2.1
  • Електричен ток
integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 8, end superscript, start fraction, 1, divided by, cube root of, x, end cube root, end fraction, d, x, equals, question mark
Избери един отговор:

Искаш ли да решаваш още такива задачи? Пробвай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.