Несобствен интеграл с две безкрайни граници

Имаме графиката на у равно на 250 върху 25 плюс х квадрат. В настоящия урок искам да намеря пълната площ под кривата и оста х. Имам предвид всичко, което защриховам ето тук. Включително и това, което не виждаме, когато се движим по оста х наляво или надясно. Имам предвид от х равно на минус безкрайност до х равно на безкрайност. Как да означим тази площ? С неправилен интеграл. Ще я означим като неопределен интеграл от х равно на минус безкрайност до х равно на безкрайност, от дадената функция 250 върху 25 плюс х квадрат, dx. Вече сме срещали неопределени интеграли, при които една от границите е безкрайност. Как да решим обаче такъв, с една граница плюс безкрайност, и друга минус безкрайност? Не можем да намерим границата при това условие. Начинът да се решиш тази задача, е да разделиш площта на два неправилни интеграла. Един неправилен интеграл, който описва тази площ в синьо, от минус безкрайност до 0. Казваме, че това е неправилен интеграл от минус безкрайност до 0, от 250 върху 25 плюс х квадрат, dx. Плюс неправилен интеграл от 0 до плюс безкрайност. Тоест плюс неправилен, т.е. определен интеграл от 0 до плюс безкрайност, от 250 върху 25 плюс х квадрат, dx. Сега започваме да разбираме задачата. Изразът в синьо можем да запишем ето така. Равно е на граница от n клонящо към минус безкрайност от определен интеграл, от n do 0 от 250 върху 25 плюс х квадрат, dx. Тук ми свършва мястото. След като вече използвах n, нека сега използвам m. Имаме плюс m клонящо към безкрайност, от определен интеграл от 0 до m, от 250 върху 25 плюс х квадрат, dx. Сега следва да изчислим тези определени интеграли. За да го направим просто следва да намерим антипроизводна от 250 върху 25 плюс х квадрат. Нека опитаме да я изчислим. Ще го направя ето тук отляво. Искаме да намерим антипроизводна от 250 върху 25 плюс х квадрат, dx. Може би вече се досещаш, че заместване с тригонометрична функция може да е подходящо. Виждаш израз от вида а квадрат плюс х квадрат, като тук а ще бъде равно на 5. Може да направим заместването х е равно на а по тангенс θ (тета), т.е. 5 по тангенс θ. Накрая ще трябва да заместим обратно, така че нека изведем следното условие. х върху 5 е равно на тангенс θ, което е еквивалентно с ето този първи израз. Ако искаме да изразим θ като функция на х, следва да поставим условието, че θ е равно на аркустангенс от х върху 5. Това отново е еквивалентно с този първи израз ето тук. х е равно на 5 по тангенс θ, а θ е равно на аркустангенс от х върху 5. Нека сега да направим заместването. Преди това следва да намерим на какво е равно dx. Ще го запиша ето тук. Производната на този израз спрямо θ, е равна на 5 по секанс квадрат θ, dθ. Сега вече сме готови да заместим обратно. Тогава целият този израз е равен на следното. 250 по dx е равно на 250 по 5 по секанс квадрат θ, dθ. Тоест 250 по dx е този израз ето тук. Всичко това е върху 25 плюс х квадрат. х квадрат ще бъде равно на 25 по тангенс квадрат θ. Сега можем да опитаме да опростим целия този израз. Равно е на 250 по 5 по секанс квадрат θ върху 25 по 1 плюс тангенс квадрат θ, dθ. 250, разделено на 25 е равно на 10. А 1 плюс тангенс квадрат θ е секанс квадрат θ. Можеш да го докажеш, ако представиш тангенс θ като синус квадрат θ върху косинус квадрат θ. А единицата е същото нещо като косинус квадрат θ върху косинус квадрат θ. След това можеш да използваш основните тригонометрични тъждества, за да докажеш, че този израз в скобите, е равен на секанс квадрат θ. Това опростява значително израза. Получава се секанс квадрат θ върху секанс квадрат θ, което е равно на 1. Следователно остава само 10 по 5, т.е. 50 пъти по dθ. Ще изнеса това 50 пред интеграла. Имаме 50 по интеграл от dθ. Получава се 50 пъти по θ. Записваме плюс С, за да покажем, че това са всичките антипроизводни. Нуждаем се обаче само от основната антипроизводна, за да изчислим тези определени интеграли. Сега обаче я имаме като функция на θ. Нека да я запишем като функция на х. Ще използваме равенството θ е равно на аркустангенс от х върху 5. Тогава получаваме 50 по аркустангенс от х върху 5 плюс С. Това са всички антипроизводни. Можем да изберем С да е равно на 0, за да заместим в тези изрази тук, за да изчислим определените интеграли. Нека го направим. Това което имаме в синьо ще запишем ето така. Граница от n, клонящо към безкрайност, от антипроизводна от този израз, който е равен на 50 по аркустангенс от х върху 5. Ще го изчислим за 0 и n. Към този израз прибавяме граница, когато m клони към безкрайност от следната антипроизводна. 50 по аркустангенс от х върху 5, изчислена в интервала от 0 до m. Нека да поставя скоби около това х върху 5. На какво ще бъде равен този израз? Нека го запиша ето така. Това ще бъде граница от n клонящо към минус безкрайност от 50 по аркустангенс от 0 върху 5, минус 50 по аркустангенс от n върху 5. Към този израз прибавям следното. Нека си осигуря повече място. Границата, когато m клони към безкрайност от 50 по аркустангенс от m върху 5 минус 50 по аркустангенс от 0 върху 5. Мисля, че усещаш какво ще се получи. Сега можем да изчислим тези изрази. И за да си помогнем, нека използваме единичната окръжност. Нека разгледаме единичната окръжност, за да можем да онагледим функцията аркустангенс. Може да мислиш за тангенс като за наклона на правата, която определя второто рамо на един ъгъл. Нека имаме ъгъл, който изглежда ето така. Този ъгъл е определен от положителната посока на оста х и тази права ето тук. Ако имаме ето този ъгъл, то тангенсът на този ъгъл ще бъде наклонът на ето тази линия. Можеш да го разглеждаш по следния начин. Ако искаме да намерим аркустангенс от 0, е все едно да вземем ъгъл, чието второ рамо има наклон 0. Ъгъл, чието второ рамо има наклон 0, е ъгъл със стойност 0. Аркустангенс от 0 има 0 радиана. Тоест тук имаме 50 по 0. Това просто ще бъде равно на 0. Можем да го запишем и ето тук. Този израз тук ще бъде 0. Остана ни границата, когато n клони към безкрайност от минус 50 по аркустангенс от n върху 5 плюс границата, когато m клони към плюс безкрайност, от 50 по аркустангенс от m върху 5. Нека помислим на какво са равни тези граници. Ето граница, когато n клони към минус безкрайност. Можеш да разглеждаш границата като наклона на второто рамо на ъгъла, който клони към минус безкрайност. Ето този наклон намалява все повече и повече към минус безкрайност. Става минус безкрайност, т.е. клони към минус безкрайност, когато този ъгъл тук, има стойност минус π/2. Може да кажем и следното. Имаме граница от аркустангенс от n върху 5 за n клонящо към безкрайност, което е тази част тук. Когато n клони към минус безкрайност, границата ще бъде минус π/2. Тогава просто ще умножим това по минус 50. Ще получим минус 50 по минус π/2, което ще ни даде плюс 25 по π. Този израз е равен на 25 по π. Аналогично, тук имаме аркустангенс от m върху 5, когато m клони към безкрайност. Когато m клони към безкрайност, наклонът на второто рамо на ъгъла клони към безкрайност. Наклонът става все по-голям и по-голям. Клони към безкрайност и се приближава все повече и повече до вертикала. Следователно за m върху 5 клонящо към безкрайност, аркустангенс от m върху 5 ще бъде равно на плюс π/2. Ето този ъгъл е равен на плюс π/2. Това, което виждаме в оранжево ето тук, ще бъде равно на плюс 50 по π/2. Получава се 25 по π. Следователно площта, която имаме в синьо, като се върнем към първоначалната задача, е равна на 25 по π. Площта в оранжево, е равна на 25 по π. Ако искаме да отговорим на първоначалния въпрос, колко е цялата площ под ето тази крива, което е чудесен въпрос - който можеш да зададеш - е равна на 25 по π плюс 25 по π, т.е. 50 по π. И сме готови.