If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Интегрално смятане

Курс: Интегрално смятане > Раздел 1

Урок 1: Въведение в натрупването на изменения
Математика
Интегрално смятане
Интеграли
Въведение в натрупването на изменения
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Разглеждане на натрупването на изменения

Класна стая на Google
Определените интеграли се тълкуват като натрупване на величини. Научи защо това е така и как може да се използва за анализиране на ситуации от реалния свят.
Определеният интеграл може да се използва за представяне на информация относно нарастването и нетната стойност на изменението в приложен контекст. Нека да видим как се прави.

Разглеждане на натрупването в случай от реалния свят

Да кажем, че се пълни резервоар с вода с постоянна скорост start color #11accd, 5, start text, space, L, slash, m, i, n, end text, end color #11accd (литри в минута) за start color #ca337c, 6, start text, space, м, и, н, у, т, и, end text, end color #ca337c. Можем да намерим обема на водата (в start text, L, end text), като умножим времето по скоростта:
Обем=Време×Скорост=6 min⋅5 Lmin=30min⋅Lmin=30 L\begin{aligned} \text{Обем}&=\maroonD{\text{Време}}\times\blueD{\text{Скорост}} \\ &=\maroonD{6\,\text{min}}\cdot\blueD{5\,\dfrac{\text{L}}{\text{min}}} \\ &=30\dfrac{\cancel{\text{min}}\cdot\text{L}}{\cancel{\text{min}}} \\ &=30\,\text{L} \end{aligned}
Ще разгледаме сега случая графично. Тази скорост може да бъде представена като константна функция r, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 5:
Дадена е графиката на функцията r с индекс 1. На оста х е нанесено времето в минути, от 0 до 10. Скоростта, в литри за минута, е нанесена върху оста y. Графиката представлява права. Правата започва от точката (0; 5), продължава хоризонтално надясно и достига до точката (10; 5).
Всяко хоризонтално деление на тази графика представлява една минута, а всяко вертикално деление представлява литри в минута, следователно площта на всяко квадратче се измерва в литри:
start underbrace, start text, m, i, n, end text, end underbrace, start subscript, start text, ш, и, р, о, ч, и, н, а, end text, end subscript, dot, start underbrace, start fraction, start text, L, end text, divided by, start text, m, i, n, end text, end fraction, end underbrace, start subscript, start text, в, и, с, о, ч, и, н, а, end text, end subscript, equals, start underbrace, start text, L, end text, end underbrace, start subscript, start text, п, л, о, щ, end text, end subscript
Един квадрат представлява единица на графиката. Хоризонталният размер представлява минути, а вертикалния размер представлява литри за минута. Площта представлява литри. Формулата за изчисляване на площта е широчината по височината = площта, или минути по литри в минута е равно на литри.
Освен това площта на правоъгълника, ограничен от графиката r, start subscript, 1, end subscript и хоризонталната ос между t, equals, 0 и t, equals, 6, ни дава обема на водата след 6 минути:
Дадена е графика на функцията r с индекс 1. Оцветена е правоъгълна област под кривата. Областта се простира от 0 до 6 минути и от 0 до 5 литра в минута . Площта на правоъгълника е изчислена като 6 минути по 5 литра в минута = 30 литра.
Да кажем, че сега се пълни друг резервоар, но този път скоростта не е константа:
r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 6, sine, left parenthesis, 0, comma, 3, t, right parenthesis
Дадена е графиката на функцията r с индекс 2. Времето в минути и нанесено на оста x, от 0 до 10. Скоростта в литри в минути е нанесена на оста y. Графиката представлява крива. Кривата започва от точката (0; 0), движи се нагоре с вдлъбнатост в (5;2; 6), движи се надолу с вдлъбнатост и завършва в точката (10; 0,8).
Как можем да изчислим обема на водата в този резервоар след 6 минути? За да направим това, нека разгледаме приближението на площта под кривата между t, equals, 0 и t, equals, 6 със Сумата на Риман. За удобство нека използваме приближение, в което всеки правоъгълник е широк 1 минута.
Дадена е графиката на предишната функция, r с индекс 2. Шест правоъгълни стълба, всеки от тях с широчина 1 единица или 1 минута, се издигат вертикално от хоризонталната ос към крива от 0 до 6 минута. Всеки стълб се издига нагоре, така че върхът му да докосва кривата. Горният ляв връх на петте правоъгълника от 0 до 5 са извън кривата. Всеки правоъгълник излиза по-малко над кривата от предишния. Шестият правоъгълник е изцяло в кривата. От ляво на дясно правоъгълниците имат следните приблизителни височини: 1,8, 3,4, 4,7, 5,6, 6, 5,9.
Видяхме как всеки правоъгълник представя обем в литри. По-конкретно, всеки правоъгълник в тази Сума на Риман е приближение на обема вода, който се добавя към резервоара на всяка минута. Когато съберем всички площи. т.е. когато всичките обеми се натрупат, получаваме приближение за общия обем вода след 6 минути.
Като използваме повече правоъгълници с по-малка ширина, ще получим по-добро приближение. Ако вземем границата на натрупване за безкрайно много правоъгълници, ще получим определения интеграл integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. Това означава, че точният обем вода след 6 минути е равен на площта, ограничена от графиката r, start subscript, 2, end subscript и хоризонталната ос между t, equals, 0 и t, equals, 6 .
Дадена е графика на функцията r с индекс 2. Областта между кривата и оста t, между t = 1 и t = 6, е оцветена.
И така, интегралното смятане ни позволява да намерим общия обем след 6 минути:
integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, comma, 5, start text, L, end text

Определеният интеграл от скоростта на изменение на една величина показва сумарното изменение на тази величина.

В примера, който видяхме, имахме функция, която описва някаква скорост. В нашия случай това е скоростта на изменение на обем за някакво време. Определеният интеграл на тази функция ни даде натрупването на обема—величината, чиято скорост беше дадена.
Друга важна характеристика тук е времевият интервал на определения интеграл. В нашия случай времевият интервал беше от началото left parenthesis, t, equals, 0, right parenthesis до 6 минути след това left parenthesis, t, equals, 6, right parenthesis. Следователно определеният интеграл ни даде сумарното изменение в количеството вода в резервоара между t, equals, 0 и t, equals, 6.
Това са двата начина, по които обикновено разглеждаме определените интеграли: те описват натрупването или нарастването на някаква величина, следователно целият определен интеграл ни дава сумарното изменение на тази величина.

Защо "сумарното изменение" на величината, а не просто самата величина?

Използвайки горния пример, забележи, че не ни беше казано дали е имало някакво количество вода в резервоара преди t, equals, 0. Ако резервоарът е бил празен, тогава integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, comma, 5, start text, L, end text наистина е количеството вода в резервоара след 6 минути. Но ако резервоарът вече е съдържал, да кажем, 7 литра вода, тогава реалният обем вода в резервоара след 6 минути ще е:
start underbrace, 7, end underbrace, start subscript, start text, о, б, е, м, space, п, р, и, space, end text, t, equals, 0, end subscript, plus, start overbrace, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, end overbrace, start superscript, start text, п, р, о, м, я, н, а, space, в, space, о, б, е, м, а, space, о, т, space, end text, t, equals, 0, start text, space, д, о, space, end text, t, equals, 6, end superscript
Това е приблизително 7, plus, 24, comma, 5, equals, 31, comma, 5, start text, space, L, end text.
Запомни: Определеният интеграл винаги ни дава сумарното изменение на една величина, а не реалната стойност на тази величина. За да намерим реалната стойност на величината, трябва да добавим началното състояние към определения интеграл.
Задача 1.а
  • Електричен ток
Задача 1 ще те преведе през процеса на анализиране на ситуация, която включва натрупване:
При време t една популация от бактерии расте със скорост r, left parenthesis, t, right parenthesis грама за ден, където t се измерва в дни.
Дадена е графиката на функцията r. Времето в дни е нанесено върху оста x, от 0 до 10. Скоростта на нарастване, в грамове за ден, е нанесена върху оста y. Графиката представлява крива. Кривата започва от точката (0; 1), движи се с изпъкналост нагоре през точката (8; 5) и завършва в точката (10; 7,3). Областта между кривата и оста x, между t = 0 и t = 8, е оцветена.
Какви са мерните единици на величината, представена от определения интеграл integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 8, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: Използване на неподходящи мерни единици

Както при всички приложни текстови задачи, единиците играят важна роля тук. Не забравяй, че ако r е скорост на изменение на функция, измервана в start fraction, start color #11accd, start text, В, е, л, и, ч, и, н, а, space, A, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, В, е, л, и, ч, и, н, а, space, B, end text, end color #ca337c, end fraction, тогава нейният определен интеграл ще се измерва във start color #11accd, start text, В, е, л, и, ч, и, н, а, space, A, end text, end color #11accd.
Например в Задача 1 r се измерваше в start fraction, start color #11accd, start text, г, р, а, м, о, в, е, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, д, е, н, end text, end color #ca337c, end fraction, затова определеният интеграл на r се измерваше в start color #11accd, start text, г, р, а, м, о, в, е, end text, end color #11accd.
Задача 2
Идън е вървял със скорост r, left parenthesis, t, right parenthesis километра за час (където t е времето в часове).
Какво означава integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 6?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: Неправилно тълкуване на интервала на интегриране

За всяка скорост на изменение на функция r определеният интеграл integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t описва натрупването на стойностите между t, equals, a и t, equals, b.
Често срещана грешка е да се пренебрегне една от границите (обикновено долната), което води до грешно тълкуване.
Например в Задача 2 ще бъде грешка да се тълкува integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t като разстоянието, което Идън е извървял за 3 часа. Долната граница е 2, затова integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t е разстоянието, което Идън е извървял между 2, start superscript, start text, negative, р, и, я, end text, end superscript час и 3, start superscript, start text, negative, т, и, я, end text, end superscript час. Освен това в подобни случаи, където времевият интервал е точно една единица, обикновено казваме "през 3, start superscript, start text, negative, т, и, я, end text, end superscript час."
Задача 3
Приходът на Джулия е r, left parenthesis, t, right parenthesis хиляди долара на месец (където t е месецът от годината). Джулия е спечелила 3 хиляди долара през първия месец от годината.
Какво означава 3, plus, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 19?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: Да се пренебрегва началното състояние

Когато имаме скорост на изменение на функция f и примитивна функция F, определеният интеграл integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t ни дава сумарното изменение на F между t, equals, a и t, equals, b. Ако добавим първоначалното състояние, ще получим реалната стойност на F.
Например в Задача 3 integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t представя промяната в количеството пари, които Джулия е спечелила между 1, start superscript, start text, negative, в, и, я, end text, end superscript и 5, start superscript, start text, negative, и, я, end text, end superscript месец. Но тъй като добавихме 3, което е сумата, която Джулия е имала в 1, start superscript, start text, negative, в, и, я, end text, end superscript месец, изразът сега представя реалната сума в 5, start superscript, start text, negative, и, я, end text, end superscript месец.

Връзката с приложните скорости на изменение

В диференциалното смятане научихме, че производната f, prime на една функция f показва моментната скорост на изменение на f за дадената величина. Сега отиваме в обратната посока! Всяка скорост на изменение на функция f има примитивна функция F, която дава натрупаната стойност на величината, чиято скорост е описана от f.
ВеличинаСкорост
Диференциално смятанеf, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Интегрално смятанеF, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, tf, left parenthesis, x, right parenthesis
Задача 4
Функцията k, left parenthesis, t, right parenthesis показва количеството кетчуп (в килограми), което е произведено във фабрика за сосове за време t (в часове) в определен ден.
Какво показва integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 4, end superscript, k, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t?
Избери един отговор:

Искаш ли още упражнения? Пробвай това.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.