Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 1
Урок 1: Въведение в натрупването на измененияРазглеждане на натрупването на изменения
Определените интеграли се тълкуват като натрупване на величини. Научи защо това е така и как може да се използва за анализиране на ситуации от реалния свят.
Определеният интеграл може да се използва за представяне на информация относно нарастването и нетната стойност на изменението в приложен контекст. Нека да видим как се прави.
Разглеждане на натрупването в случай от реалния свят
Да кажем, че се пълни резервоар с вода с постоянна скорост (литри в минута) за . Можем да намерим обема на водата (в ), като умножим времето по скоростта:
Ще разгледаме сега случая графично. Тази скорост може да бъде представена като константна функция :
Всяко хоризонтално деление на тази графика представлява една минута, а всяко вертикално деление представлява литри в минута, следователно площта на всяко квадратче се измерва в литри:
Освен това площта на правоъгълника, ограничен от графиката и хоризонталната ос между и , ни дава обема на водата след минути:
Да кажем, че сега се пълни друг резервоар, но този път скоростта не е константа:
Как можем да изчислим обема на водата в този резервоар след минути? За да направим това, нека разгледаме приближението на площта под кривата между и със Сумата на Риман. За удобство нека използваме приближение, в което всеки правоъгълник е широк минута.
Видяхме как всеки правоъгълник представя обем в литри. По-конкретно, всеки правоъгълник в тази Сума на Риман е приближение на обема вода, който се добавя към резервоара на всяка минута. Когато съберем всички площи. т.е. когато всичките обеми се натрупат, получаваме приближение за общия обем вода след минути.
Като използваме повече правоъгълници с по-малка ширина, ще получим по-добро приближение. Ако вземем границата на натрупване за безкрайно много правоъгълници, ще получим определения интеграл . Това означава, че точният обем вода след минути е равен на площта, ограничена от графиката и хоризонталната ос между и .
И така, интегралното смятане ни позволява да намерим общия обем след минути:
Определеният интеграл от скоростта на изменение на една величина показва сумарното изменение на тази величина.
В примера, който видяхме, имахме функция, която описва някаква скорост. В нашия случай това е скоростта на изменение на обем за някакво време. Определеният интеграл на тази функция ни даде натрупването на обема—величината, чиято скорост беше дадена.
Друга важна характеристика тук е времевият интервал на определения интеграл. В нашия случай времевият интервал беше от началото до минути след това . Следователно определеният интеграл ни даде сумарното изменение в количеството вода в резервоара между и .
Това са двата начина, по които обикновено разглеждаме определените интеграли: те описват натрупването или нарастването на някаква величина, следователно целият определен интеграл ни дава сумарното изменение на тази величина.
Защо "сумарното изменение" на величината, а не просто самата величина?
Използвайки горния пример, забележи, че не ни беше казано дали е имало някакво количество вода в резервоара преди . Ако резервоарът е бил празен, тогава наистина е количеството вода в резервоара след минути. Но ако резервоарът вече е съдържал, да кажем, литра вода, тогава реалният обем вода в резервоара след минути ще е:
Това е приблизително .
Запомни: Определеният интеграл винаги ни дава сумарното изменение на една величина, а не реалната стойност на тази величина. За да намерим реалната стойност на величината, трябва да добавим началното състояние към определения интеграл.
Често срещана грешка: Използване на неподходящи мерни единици
Както при всички приложни текстови задачи, единиците играят важна роля тук. Не забравяй, че ако е скорост на изменение на функция, измервана в , тогава нейният определен интеграл ще се измерва във .
Например в Задача 1 се измерваше в , затова определеният интеграл на се измерваше в .
Често срещана грешка: Неправилно тълкуване на интервала на интегриране
За всяка скорост на изменение на функция определеният интеграл описва натрупването на стойностите между и .
Често срещана грешка е да се пренебрегне една от границите (обикновено долната), което води до грешно тълкуване.
Например в Задача 2 ще бъде грешка да се тълкува като разстоянието, което Идън е извървял за часа. Долната граница е , затова е разстоянието, което Идън е извървял между час и час. Освен това в подобни случаи, където времевият интервал е точно една единица, обикновено казваме "през час."
Често срещана грешка: Да се пренебрегва началното състояние
Когато имаме скорост на изменение на функция и примитивна функция , определеният интеграл ни дава сумарното изменение на между и . Ако добавим първоначалното състояние, ще получим реалната стойност на .
Например в Задача 3 представя промяната в количеството пари, които Джулия е спечелила между и месец. Но тъй като добавихме , което е сумата, която Джулия е имала в месец, изразът сега представя реалната сума в месец.
Връзката с приложните скорости на изменение
В диференциалното смятане научихме, че производната на една функция показва моментната скорост на изменение на за дадената величина. Сега отиваме в обратната посока! Всяка скорост на изменение на функция има примитивна функция , която дава натрупаната стойност на величината, чиято скорост е описана от .
Величина | Скорост | |
---|---|---|
Диференциално смятане | ||
Интегрално смятане |
Искаш ли още упражнения? Пробвай това.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.