Решен пример: Разделяне на интервала за даден интеграл

Това е графика на функцията g(t). Това е функция на t. Нека дефинираме нова функция. Нека я означим с главно G от х и да е равна на определен интеграл между t = –3 и t = х, от малко g(t), dt. По начина, по който току-що дефинирахме функцията G(х), нека да видим как може да изчислим определени стойности. Нека да намерим на какво е равна функцията главно G в точката х = 4. Нека също така да изчислим функцията главно G в точката х = 8. Насърчавам те да спреш видеото сега и да се опиташ да помислиш върху всяка от тези стойности самостоятелно. Нека да се спрем на G(4) първо. Това ще бъде равно на...Ако х е равно на 4, то горната граница тук ще бъде 4. Тогава това ще бъде определен интеграл от g(t) между t = –3 и t = 4, g от t, dt. А това на какво ще бъде равно? Нека да видим. Да разгледаме графиката ето тук. Имаме –3, това е t равно на –3, което е точно ето тук. t е равно на –3. И изминаваме целия интервал до t е равно на 4. Нека да го оградя с оранжево. Цялото разстояние до t = 4, което се намира ето тук. Това е.. Възможен начин да мислиш за това, е, че това ще бъде площта над оста t и под графиката на G. Следователно това ще бъде тази площ ето тук, която се намира над оста t и под графиката на G(t). Няма обаче да прибавим към нея тази площ, поради следното. Ще я защриховам в жълто. Площта, която защриховам в жълто ето тук, ще бъде отрицателна. Защо ще бъде отрицателна? По принцип търсим площ, която се намира над оста t и под функцията g. Това тук е обратният случай. Тази площ е под оста t и над графиката на g. Възможен начина да я разглеждаме, е ако я разделим на части. Нека изчистя тези записки, за да имам повече място. Тази площ ще бъде равна на интеграл... Ще го запиша с лилав цвят. Определен интеграл от t равно от –3 до 0, от g(t) dt плюс... Ще запиша другия интеграл с жълт цвят. Плюс интеграл от t = 0 до t = 4, от g(t)dt. На какво ще бъде равен всеки от тези интеграли? Това е просто триъгълник, чиято основа е равна на 3. Основата му има дължина 3. Височината му има дължина 3. Следователно ще получим 3 по 3, което е 9, умножено по 1/2. Защото 3 по 3 ще ни даде площта на целия този квадрат. Този триъгълник обаче заема само половината от него. Тогава този интеграл тук ще бъде равен на 4,5. Това ще бъде равно на 4,5. Тогава на какво ще бъде равна площта в жълто? Нека да видим. Имаме триъгълник, чиято основа, или широчина е 4. Височината му е равна на 4. 4 по 4 е 16, което е лицето на този квадрат. Разделяме го наполовина и получаваме 8. Сега не може просто да прибавим тази площ към лилавата, защото жълтата ще бъде отрицателна. Графиката ето тук се намира под оста t. Тогава за това можем да кажем, че този интеграл ще бъде равен на –8. Още веднъж, защо стойността му е –8? Защото графиката се намира под оста t. Тогава какво се получава накрая? Имаме G(4), което е ето тази площ, минус тази площ. Получава се 4,5 минус 8. Нека да видим. 4 минус 8 е равно на минус 4. Минус още 0,5 е –3,5. Минус 3,5. Нека сега се опитаме да намерим, на какво е равно G(8). Имаме G от 8. А ако не можеш да го намериш от първия път, спри видеото отново. Използвай това как намерихме G(4) и се опитай да намериш G(8). На какво е равно G(8)? Възможен начин да мислиш за това е следният. Имаме минус тази площ, а след това ще прибавим площта, т.е. ще разгледаме две други площи. Изминаваме цялото разстояние до 8. Нека всъщност да начертая една линия тук. Искаме да помислим за цялата тази площ тук. Върху цялата тази площ. А след това ще помислим за тази. Може да запишем, че G(8) ще бъде равно на следния интеграл. Нека всъщност да го запиша с лилав цвят. Ще бъде равно на този интеграл, което е интегралът между t = –3 и 0, g от t, dt. И прибавяме целия този жълт участък сега. Частта, която изчислихме преди, плюс ето тази част тук. Просто ще го запиша като плюс определен интеграл между t равно на 0 и t равно на 6, g от t, dt. Следва последното. Прибавяме определен интеграл между t = 6 и t = 8 от g(t)dt. Сега вече знаем, че първият интеграл е равен на 4,5, така че записваме 4,5. А този интеграл на какво ще бъде равен? Имаме триъгълник, чиято основа има дължина 6, височината му е 4. 6 по 4 е равно на 24, умножено по 1/2 ще ни даде 12. Тоест този интеграл тук е равен на 12. И накрая, на какво е равна тази площ? О, тук трябва да внимаваме! Тази площ се намира под оста t и над графиката. Следователно стойността на интеграла ще бъде минус 12. И последно имаме ето тази площ, която ще бъде положителна. Намира се под графиката и над оста t. Нека да видим. Имаме 2 по 4, което е 8, умножено по 1/2 е равно на 4. Тогава ще запишем плюс 4. И какво получаваме накрая? Накрая се получава 4,5 плюс 4, което е 8,5, минус 12. Ще бъде равно на следното. Ще вземем 8 минус 12, което е минус 4, и прибавим 0,5. И отново е равно на 3,5. Защо получихме, че тези два резултата са едни и същи? Нека помислим какво се случи тук. Изминахме разстоянието от главно G(4) до главно G(8). Извадихме тази стойност тук и прибавихме тази стойност ето тук. Виждаш, че тези два триъгълника имат еднакви площи. Извадихме и прибавихме равни лица, за да получим същия резултат.