Функции, дефинирани с интеграли: задача предизвикателство

Ето тук имаме дадена графиката на функцията f. Предполагаме, че f е функция на t, т.е. хоризонталната ос е t. Това е оста t. Това е f от t, малко f от t. Нека сега да дефинираме една друга функция. Да я наречем голямо F, но няма да бъде функция на t. Ще бъде функция на x. Голямо F от х е равно на следното. Ще я дефинираме като определен интеграл между t равно на минус 5 и t равно на х. Всъщност нека означа х с един и същ цвят, за да се разпознава. F от х е равно на определен интеграл между t равно на минус 5 и t равно на x, f от t, dt. Ако можех, може би нямаше да използвам главно F и малко f. Бих използвал g или главно G, просто за да не се объркваш, когато казвам F. Ще дам най-доброто от себе си, за да казвам малко f от t, голямо F от х. Ето така ще дефинираме функцията главно F от х. Определен интеграл в интервала от t равно на 5 до х, f от t, dt. Сега вземаме тази дефиниция. Това, което искам да намеря, е за кои стойности на х функцията голямо F от х е равна на 0? Ще го запиша. За кои стойности на х този израз, или това равенство, е изпълнено? Насърчавам те да спреш видеото сега и да помислиш самостоятелно върху задачата. След това може да я решим заедно. Добре, предполагам, че това вече е направено. Нека да помислим какво всъщност представлява функцията голямо F от x. Един от начините да мислиш за това е като за площта между минус 5, т.е. между t равно на минус 5 и t равно на х, която е под функцията f от t и над оста t. Ако площта се намира под оста t и над функцията, то ще бъде отрицателна площ. Разглеждаме t равно на минус 5, което може да кажем, че е тази граница ето тук. Това е t равно на минус 5. И ако просто избереш една стойност за х, например минус 2, т.е. тази стойност ето тук, то главно F ще описва ето тази площ. Тази площ ще бъде отрицателна площ, защото функцията се намира под оста t. Например, главно F от минус 2 ще бъде отрицателно. За кои стойности на х тази площ ще бъде 0? Ето нещо, за което може би се досещаш. Може просто да изберем х да е точно минус 5. Точно равно на минус 5. Тогава ето тук няма никаква широчина. Следователно не съществува никаква площ. Тоест F от... F от минус 5 – или голямо F от минус 5, за да съм прецизен – е равно на определен интеграл между t равно на минус 5 и t равно на минус 5, f от t, dt. f от t, dt. И тук се получава, че имаме еднакви граници. Следователно стойността на този израз ще бъде 0. Тази площ е широка 0. Тогава този израз ще бъде равен на 0. Следователно може да кажем, че х равно на минус 5 е една от точките. Една от точките х, за които главно F от х е равно на 0. Нека да видим дали може да намерим още такива точки. Нека да изтрия ето това тук. Това беше, когато започнахме в t равно на минус 5. х нараства все повече и повече и стигаме до х равно на минус 3. Нека да разгледаме тази площ ето тук. Тази площ ето тук ще бъде... Виждаме, че разстоянието е 2, т.е. изминаваме от минус 5 до минус 3. Разстоянието ето тук е равно на 2. Височината тук е равна на 4. Следователно ето тази площ тук е равна на 2 по 4, по 1/2, което е 4. И понеже се намира над функцията и под оста х, ще я запишем като минус. Просто ще я запишем като минус 4. Нека да видим сега. Когато х е равно на минус 5, F(x) е равно на 0. А колкото по-напред отиваме, толкова по-отрицателни стойности получаваме за площта. Аз обаче избрах тази точка тук, просто защото изглежда като точка на промяна на функцията. Ето този участък просто ще добави повече отрицателна площ към главно F от х, когато х нараства все повече и повече. А ето това прилича на четвърт окръжност. Това е точно четвърт окръжност с радиус 4. А сега имаме още една четвърт окръжност с радиус 4, докато не достигнем до х равно на 5. И това всъщност ще бъде положителна площ. Защото функцията тук се намира над оста t. Стигнахме толкова далеч, но това, което ни интересува, е стойностите за х, при които главно F от х е 0. F от минус 5 е 0. А сега площта, когато х нараства все повече и повече, и повече, то площта става отрицателна, отрицателна, отрицателна. Ето тук става по-малко отрицателна, защото започваме да прибавяме. Започваме да прибавяме. Например, когато х е равно на 2, това съответства на ето тази положителна площ. Но все още имаме да компенсираме тази огромна отрицателна площ. Все още се намираме в "отрицателна територия". Колкото обаче повече положителна площ прибавяме, отрицателната намалява. Изминаваме цялото разстояние до х равно на плюс 5, а тази положителна площ, т.е. тази четвърт окръжност ето тук от положителна площ ще бъде точно равна на ето тази четвърт окръжност от отрицателна площ. Дори не се налага да мислиш на какво е равна тази площ. Очевидно може да се изчисли като π по r квадрат. Сега просто следва да продължаваме да прибавяме все повече и повече положителна площ, за да компенсираме това минус 4. Как ще стане това? Височината ето тук, ето тази височина тук е 4. Може да прибавим един правоъгълник, който има широчина 1 и височина 4. Тогава, това е положителна площ от 4, която притежава тази фигура тук. Това е плюс 4. И ще се унищожи с ето тази от минус 4. Следователно трябва да изминем цялото разстояние до х равно на 6. Когато х е равно на 6, голямо F от х ще бъде равно на 0. Нека го запишем. Имаме главно F. Голямо F от плюс 6, което ще бъде равно на определен интеграл между минус 5 и плюс 6. Плюс 6 от f от t. f от t, dt. Добре, може да разделим този интеграл. Вече сме го правили. Сега искам да се уверя, че разбираш какво наистина се случва. Горният израз е равен на следното. Просто ще запиша всичко с един цвят. Всъщност ще го запиша с тези цветове, които използвах ето тук. Това е равно на определен интеграл, т.е. интеграл между минус 5 и минус 3, f от t, dt плюс интеграла между минус 3 и 1, f от t, dt. Плюс интеграла от 1 до 5, f от t, dt. Това описва тази площ ето тук. Накрая остава да прибавим определен интеграл между 5 и 6, f от t, dt. Този израз описва ето тази отрицателна площ. Този описва ето тази положителна площ. Двата имат сума, равна на 0. Следва тази площ, която вече намерихме на какво е равна. Или следва да кажа, че този определен интеграл е равен на минус 4. Този е минус 4, а този ето тук е плюс 4, така че сумата от двата, разбира се, е равна на 0. Това искахме да намерим. Отново, как го направихме? Казахме си, добре, ясно е, че когато х е равно на минус 5, то площта е 0. След това продължихме да увеличаваме х все повече и повече. Можеше да избера и другата посока за х. Тогава щях да имам все повече и повече положителни стойности, но нямаше да имам нещо, което да прибавя, за да получим отново 0. Когато увеличаваме х над минус 5, голямо F от х, т.е. площта става все повече и повече отрицателна, но стигаме до момент, когато започваме да прибавяме положителни стойности, за да стане 0. И компенсираме отрицателните, когато достигнем до х равно на 6.