Интегриране на мащабиран вариант на функция

Вече сме виждали, а вероятно дори ти е писнало да ти го повтарям, че тази жълта площ ето тук, т.е. площта под кривата у равно на f от х, и над положителната част от оста х – или може би просто над оста х – между х равно на а и х равно на b, т.е. може да означим тази площ като определен интеграл от a до b, от f от x, dx. В настоящия урок искам да изследвам следното нещо. Може би ще достигнем до отговор, който ще откриеш и самостоятелно, но поне ще придобиеш представа за него. Искам да разгледам площта под кривата, която представлява мащабирана версия на f от х. Нека у е равно на с, умножено по f от х. у е равно на някакво число с, умножено по f от х, така че с мащабира функцията f от х. Искам това да бъде произволна стойност. Понеже искам да е по-лесно за онагледяване, т.е. за да го начертая, ще си представя, че c е равно на 3. Просто за по-добро онагледяване. Ще се получи умножено по 3, а не по 1. Вместо кривата да се намира тук, тя ще се намира на това разстояние ето тук. Ето тази точка вместо на това място ще се намира на ето това разстояние ето тук. Същото важи за границата а ето тук. И за ето тази стойност тук, която ще бъде на 1, 2, 3 единици ето тук. Започвам да придобивам усещане как ще изглежда тази крива, т.е. мащабираната версия на f от х. Поне това, което чертая, е много близо до 3 пъти по f от х, но само за да си го представиш, ще изглежда като нещо такова. Нека да видим тук ето това разстояние, по три, т.е. ще се намира ето тук. Следователно кривата ще изглежда като нещо такова. Ще изглежда като нещо такова. Това е мащабирана версия и числото, което използвах тук, избрах да е положително число с, по-голямо от 0. Това обаче е просто за целите на онагледяването. На какво сега ще бъде равна сега площта под тази крива и между границите a и b? На какво мислиш, че ще бъде равна ето тази площ? Вече знаем как може да я означим. Тази площ тук е равна на определен интеграл от a до b, от функцията, която интегрираме, c по f от x, dx. Нека задам въпроса малко по-ясно. Каква е връзката между този и този израз? Как тази зелена площ се отнася към тази жълта площ? Може да го разглеждаш сякаш току-що умножихме вертикалния размер по числото c. Един от начините да го разглеждаш, е когато например търсиш лицето на нещо. Например лицето на правоъгълник. И е известен вертикалният размер. Не искам да използвам същите букви отново и отново. Нека изберем вертикалният размер да е α (алфа), а хоризонталният да е β (бета). Знаем, че площта ще бъде α, умножено по β. Ако умножа вертикалния размер с числото c, то вместо α, ще имам c, умножено по α. Това е широчината β. Умножавам вертикалния размер с числото c, т.е. сега това е c по α. На какво ще бъде равно лицето сега? Ще бъде равно на c по α, по β. Казано с други думи, когато умножаваш един от размерите по c, е все едно да вземеш старата площ и да я умножиш по числото c. Точно това правим тук. Умножаваме вертикалния размер по числото с. Тоест вземаме f от х и го умножаваме по числото с. f от х ни дава височината. Очевидно тя се променя в зависимост от х, но ако се върнем към Римановите суми, f от х беше това, което ни дава височината на правоъгълниците. В момента увеличаваме височината или мога да кажа мащабираме, защото може и да намаляваме в зависимост от числото c. Мащабираме я, т.е. увеличаваме или намаляваме един от размерите с числото с. Ако умножаваш един от размерите по с, и лицето е умножено по с. Нека взема тогава този интеграл и да го запиша отново. Интеграл от a до b, от с по f от x, dx, като просто ще умножим и ще вземем изчислената площ на f(х). Нека го направя в същия цвят. Ще изчислим площта под кривата f от х, от a до b, f от х, dx и просто ще я умножим по числото с. Тук може би си мислиш, че е логично, че след като имаме с под интеграла, то можем да изнесем с пред интеграла. Пак повтарям, че това не е строго доказателство на дефиницията за определен интеграл. Надявам се обаче, че ти е било полезно, за да придобиеш усещане защо може да се представи така. Ако умножиш функцията, всъщност умножаваш височината, така че лицето под интеграла просто ще бъде увеличена или намалена версия на лицето под интеграла на първоначалната функция f от х. И отново, това е едно наистина много полезно свойство на определения интеграл, което ще ни помага да решаваме определени интеграли, както и да си изясним какво въобще правим с тях.