Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 1
Урок 8: Свойства на определените интеграли- Отрицателни определени интеграли
- Намиране на определени интеграли като се използват формули за площ
- Намиране на определени интеграли като се използват формули за площ
- Определен интеграл в една единствена точка
- Интегриране на мащабиран вариант на функция
- Размяна на границите за определен интеграл
- Интегриране на суми от функции
- Решени примери: Намиране на определени интеграли с помощта на алгебрични свойства
- Намиране на определени интеграли с използване на алгебрични свойства
- Определени интеграли на съседни интервали
- Решен пример: Разделяне на интервала за даден интеграл
- Решен пример: Сливане на определени интеграли на съседни интервали
- Определени интеграли на съседни интервали
- Функции, дефинирани чрез интеграли: разменен интервал
- Намиране на производна като се използва фундаменталната теорема на математическия анализ: x присъства в долната граница
- Намиране на производна като се използва фундаменталната теорема на математическия анализ: x присъства в двете граници
- Функции, дефинирани с интеграли: задача предизвикателство
- Преговор на свойствата на определените интеграли
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Отрицателни определени интеграли
Научихме, че определените интеграли ни дават площта между кривата и оста x. Но какво се получава ако самата крива е под оста x? В такъв случай определеният интеграл отново е свързан с площ, но е отрицателен. Виж как работи това и разбери защо е така.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Вече научихме какво е
определен интеграл. Ако търсим определен интеграл от
a до b, от f от x, dx, то мога просто да го разглеждаме като
площта под функцията f. Нека това да е оста у, а това оста х. И у е равно на f от х, т.е. нещо такова. у е равно на f от х. Нека това да е a, а това да е b. Мога просто да разглеждам този израз като равен на тази площ. Какво обаче става, когато функцията
не се намира над оста х? Какво се случва, ако е под оста х? Площите ще бъдат еквивалентни. Нека да изобразя един такъв случай. Нека начертая такъв случай. Това е оста х, а това оста у. Нека да имам функция, която изглежда като нещо
такова. Това е у равно на g от х. Нека да кажем, че това тук е a, а това тук е b. И нека да кажем, че тази площ ето тук е равна на 5. Ако те попитам: на какво е равен определеният
интеграл от a до b от g от х, dx, на какво мислиш, че ще
бъде равен? Може би се изкушаваш да кажеш
отново, че е просто площта между кривата у и
оста х. Може би се изкушаваш да кажеш, че интегралът ще бъде равен на 5. Трябва обаче да внимаваш. Защото, ако гледаш площта над
кривата и под оста х, вместо под кривата и над оста х, то този определен интеграл със
сигурност ще бъде отрицателна площ. По-късно ще видим защо
това е логично, заедно с още цял набор от свойства
на интегрирането. Но ако искаш да добиеш усещане за
него, нека да разгледаме графика от вида
скорост-време. И така, нека това е хоризонталната ос, т.е. времето. Вертикалната ос е скоростта. И скоростта ще бъде измервана в
метри в секунда. Времето ще бъде измервано в
секунди. Времето е в мерни единици секунди. Всъщност ще представя два случая
тук. Нека да кажем, че това е първата
графика скорост-време. Нека да изберем v1 от t да е
равно на 3. Ще бъде 3 метра в секунда, т.е. 1, 2, 3. Следователно ще изглежда ето така. Това е v1 от t. Ако разгледам определения интеграл, като тръгна от t = 1 до t = 5 от v1 от t, dt, то на какво ще бъде
равен? Тук функцията се намира над
оста t. Така че просто се придвижвам от 1 до 5, което ще бъде някъде тук. Може просто да помисля за площта
тук, която е сравнително лесно да се
изчисли. Ще бъде 3 метра в секунда, умножено
по 4 секунди. Това е изменението във времето. Това ще бъде равно на 12 метра. Ще бъде равно на 12. Може да го разглеждаш като нещо, което представлява изменението
в позицията. Ако скоростта е 3 метра в секунда, и поради това, че е положителна,
можеш да го разглеждаш, че обектът се придвижва надясно
с 3 метра в секунда. На какво е равно изменението
в позицията? Ще съм се придвижил 12 метра
надясно. И не се нуждаеш от математически
анализ, за да го изчислиш. 3 метра в секунда, умножено по 4
секунди ще бъде равно на 12 метра. Какво ще стане обаче, ако беше
обратното? Ако имам друга функция на скоростта, която ще означа с v2 от t, и която е равна на минус 2 метра
в секунда. И е просто константа от минус 2 метра
в секунда. Това ето тук е v2 от t. На какво е равен или
на какво следва да е равен определеният интеграл от 1 до 5,
от v2 от t, dt? На какво е равен? Следва да е равен на изменението
в позицията на обекта. Ако скоростта обаче е отрицателна, то това означава, че се придвижвам
наляво. Това означава, че изменението в
позицията следва да бъде наляво, а не наобратно, т.е. надясно. Може просто да погледнем тази площ
ето тук. Ако го разглеждаш просто като правоъгълник, то ще бъде равно на 2 по 4, което е
равно на 8. Но трябва да бъдеш много
внимателен. След като се намира под
хоризонталната ос и над функцията, то резултатът ще бъде отрицателен. И това би трябвало да има смисъл. Ако се придвижвам с 2 метра в
секунда наляво, в продължение на 4 секунди, или
казано по друг начин, ако се движа с минус 2 метра в
секунда за 4 секунди, то изменението в
позицията ми ще бъде равно на минус 8 метра. Ще съм се придвижил 8 метра наляво, ако изберем означението "минус" да
означава "наляво". Основният извод е, че ако се намираме под функцията и над
хоризонталната ос, определеният интеграл - и ако а е
по-малко от b - то определеният интеграл ще бъде
положителен. Ако а е по-малко от b, но функцията в рамките на този
интервал се намира под хоризонталната ос, то определеният интеграл ще бъде
отрицателен. В следващи уроци ще разгледаме определени интеграли, при които
има и двата случая, но това е малко по-сложно.