If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Обобщение върху интегриране по части

Провери уменията си за интегриране по части.

Какво е интегриране по части?

Интегрирането по части е метод за решаване на интеграли от произведение:
integral, u, left parenthesis, x, right parenthesis, v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, u, left parenthesis, x, right parenthesis, v, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, integral, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, v, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x
или по-съкратено:
integral, u, space, d, v, equals, u, v, minus, integral, v, space, d, u
Можем да използваме този метод, който може да се разгледа като "обратно правило за диференциране на произведение на функции," като разгледаме един от двата множителя като производна на друга функция.
Искаш ли да научиш повече за интегрирането по части? Виж това видео.

Упражнения 1: Интегриране по части при неопределен интеграл

Нека, например, да решим неопределения интеграл integral, x, cosine, x, d, x. За да направим това, нека u, equals, x и d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x:
integral, x, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, integral, u, d, v
u, equals, x означава, че d, u, equals, d, x.
d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x означава, че v, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
Сега интегрираме по части!
xcos(x)dx=udv=uvvdu=xsin(x)sin(x)dx=xsin(x)+cos(x)+C\begin{aligned} \displaystyle\int x\cos(x)\,dx &=\displaystyle\int u\,dv \\\\ &=uv-\displaystyle\int v\,du \\\\ &=\displaystyle x\sin(x)-\int\sin(x)\,dx \\\\ &=x\sin(x)+\cos(x)+C \end{aligned}
Запомни, че винаги можеш да провериш решението си, като диференцираш отговора!
Задача 1.1
  • Електричен ток
integral, x, e, start superscript, 5, x, end superscript, d, x, equals, question mark
Избери един отговор:

Искаш ли да решаваш още подобни задачи? Пробвай това упражнение.

Упражнения 2: Интегриране по части в определен интеграл

Нека, например, да решим определения интеграл integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, x, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x. За да направим това, нека u, equals, x и d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x:
u, equals, x означава, че d, u, equals, d, x.
d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x означава, че v, equals, minus, e, start superscript, minus, x, end superscript.
Сега интегрираме по части:
=05xexdx=05udv=[uv]0505vdu=[xex]0505exdx=[xexex]05=[ex(x+1)]05=e5(6)+e0(1)=6e5+1\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int_0^5 xe^{-x}\,dx \\\\ &=\displaystyle\int_0^5 u\,dv \\\\ &=\Big[uv\Big]_0^5-\displaystyle\int_0^5 v\,du \\\\ &=\displaystyle\Big[ -xe^{-x}\Big]_0^5-\int_0^5-e^{-x}\,dx \\\\ &=\Big[-xe^{-x}-e^{-x}\Big]_0^5 \\\\ &=\Big[-e^{-x}(x+1)\Big]_0^5 \\\\ &=-e^{-5}(6)+e^0(1) \\\\ &=-6e^{-5}+1 \end{aligned}
Задача 2.1
  • Електричен ток
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, e, end superscript, x, cubed, natural log, x, space, d, x, equals, question mark
Избери един отговор:

Искаш ли да решаваш още такива задачи? Пробвай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.