Обобщение върху интегриране по части

Интегрирането по части е метод за решаване на интеграли от произведение:

или по-съкратено:

Можем да използваме този метод, който може да се разгледа като "обратно правило за диференциране на произведение на функции," като разгледаме един от двата множителя като производна на друга функция.

Нека, например, да решим неопределения интеграл $\displaystyle\int x\cos x\,dx$integral, x, cosine, x, d, x. За да направим това, нека $u = x$u, equals, x и $dv=\cos(x) \,dx$d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x:

$u=x$u, equals, x означава, че $du = dx$d, u, equals, d, x.
$dv=\cos(x)\,dx$d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x означава, че $v = \sin(x)$v, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.

Сега интегрираме по части!

Запомни, че винаги можеш да провериш решението си, като диференцираш отговора!

Нека, например, да решим определения интеграл $\displaystyle\int^5_0 xe^{-x}dx$integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, x, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x. За да направим това, нека $u = x$u, equals, x и $dv=e^{-x} \,dx$d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x:

$u=x$u, equals, x означава, че $du = dx$d, u, equals, d, x.
$dv=e^{-x}\,dx$d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x означава, че $v = -e^{-x}$v, equals, minus, e, start superscript, minus, x, end superscript.

Сега интегрираме по части: