Основно съдържание

Интегрално смятане

Урок 17: Интегриране по части

Обобщение върху интегриране по части

Провери уменията си за интегриране по части.

Интегрирането по части е метод за решаване на интеграли от произведение:

\int u (x) v^{'} (x) d x = u (x) v (x) - \int u^{'} (x) v (x) d x

или по-съкратено:

\int u d v = u v - \int v d u

Можем да използваме този метод, който може да се разгледа като "обратно правило за диференциране на произведение на функции," като разгледаме един от двата множителя като производна на друга функция.

Искаш ли да научиш повече за интегрирането по части? Виж това видео.

Нека, например, да решим неопределения интеграл

\int x \cos x d x

. За да направим това, нека

u = x

d v = \cos (x) d x

\int x \cos (x) d x = \int u d v

u = x

означава, че

d u = d x

d v = \cos (x) d x

означава, че

v = \sin (x)

Сега интегрираме по части!

\begin{aligned} \int x \cos (x) d x & = \int u d v \\ = u v - \int v d u \\ = x \sin (x) - \int \sin (x) d x \\ = x \sin (x) + \cos (x) + C \end{aligned}

Запомни, че винаги можеш да провериш решението си, като диференцираш отговора!

Задача 1.1

\int x e^{5 x} d x = ?

Искаш ли да решаваш още подобни задачи? Пробвай това упражнение.

Нека, например, да решим определения интеграл

\int_{0}^{5} x e^{- x} d x

. За да направим това, нека

u = x

d v = e^{- x} d x

u = x

означава, че

d u = d x

d v = e^{- x} d x

означава, че

v = - e^{- x}

Сега интегрираме по части:

\begin{aligned} \int_{0}^{5} x e^{- x} d x \\ = \int_{0}^{5} u d v \\ = [u v]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} v d u \\ = [- x e^{- x}]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} - e^{- x} d x \\ = [- x e^{- x} - e^{- x}]_{0}^{5} \\ = [- e^{- x} (x + 1)]_{0}^{5} \\ = - e^{- 5} (6) + e^{0} (1) \\ = - 6 e^{- 5} + 1 \end{aligned}

Задача 2.1

\int_{1}^{e} x^{3} \ln x d x = ?

Искаш ли да решаваш още такива задачи? Пробвай това упражнение.

Сортирай по:

Все още няма публикации.