If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Интегриране по части: ∫x⋅cos(x)dx

Пример за решаване на интеграл с лесно приложение на интегрирането по части. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В последния урок заявих, че тази формула е подходяща за решаване или намиране на примитивната функция на определен вид функции. Нека проверим дали това е така. Нека да кажем, че искам да намеря примитивната функция на х по косинус от х, dx. Ако сега разгледаш тази формула тук, следва да избереш част от дадения израз да е f от х, а друга част да е g' от х. И въпросът е дали да избереш f от х да е х, а g' от х да е косинус х, или обратното. Дали да избера f от х да е косинус х, а g' от х да е х? И нещо, което трябва да разбереш, е, че трябва да погледнеш останалата част от формулата и да разбереш, че ще трябва да решиш този интеграл ето тук. А тук присъства производната на f от х по g от х. Това, което следва да направиш, е да избереш f от х така, че производната на f от х да е по-лесен израз от f от х. И да избереш g' от х така, че ако трябва да намериш примитивната ѝ функция, да не се усложнява изразът. В този случай, ако изберем f от х да е равно на х, то f' от х определено е по-лесен израз. f' от х е равно на 1. Ако изберем g' от х да е косинус х, ако намерим примитивната ѝ функция, т.е. синус от х, това отново не е по-сложен израз. Ако е обратното, например f от х да е косинус х, то ето тук търсим производната ѝ. Това не усложнява израза. Ако обаче изберем g' от х да е равно на х, и следва да намерим примитивната ѝ функция, то получаваме х квадрат върху 2, тогава вече изразът се усложнява. Нека изясня тази особеност. Избираме f от х да е равно на х. Това означава, че производната на f ще бъде равна на 1. Ще го запиша ето тук. Избираме g' от х да бъде равно на косинус х, което означава, че g от х е равно на синус х. Тоест примитивната функция на косинус х. Сега да видим според тези предположения как може да приложим изведената формула. Известно ни е всичко необходимо. Отдясно имаме f от х по g от х. f от х е равно на х. g от х е равно на синус х. И от този израз ще извадим примитивната функция f' от х, което е равно на 1, по g от х, умножено по синус х, dx. Това води до голямо опростяване. Сега преминах от решение на този интеграл от х по косинус х, до решение на интеграл от синус х. Знаем, че примитивната функция на синус х, dx, е равна на минус косинус х. Разбира се може да прибавим константа С, защото сме почти готови с намиране на примитивната функция. Всичко това ще бъде равно на х по синус х минус примитивната функция на този израз, който е просто минус косинус х. И прибавяме константа С в края на израза. Няма значение дали ще извадим или прибавим С. Това е просто произволна константа, която дори може да е отрицателна. Всичко това ще бъде равно на следното. Заслужаваме поздравления вече. Получава се х по синус х минус минус, т.е. плюс косинус х, плюс С. И сме готови! Намерихме примитивната функция на нещо, на което не знаехме как да намерим примитивната функция преди. Тази задача беше много интересна.