Интегриране по части: ∫x⋅cos(x)dx

В последния урок заявих, че тази формула е подходяща за решаване или намиране на примитивната функция на определен вид функции. Нека проверим дали това е така. Нека да кажем, че искам да намеря примитивната функция на х по косинус от х, dx. Ако сега разгледаш тази формула тук, следва да избереш част от дадения израз да е f от х, а друга част да е g' от х. И въпросът е дали да избереш f от х да е х, а g' от х да е косинус х, или обратното. Дали да избера f от х да е косинус х, а g' от х да е х? И нещо, което трябва да разбереш, е, че трябва да погледнеш останалата част от формулата и да разбереш, че ще трябва да решиш този интеграл ето тук. А тук присъства производната на f от х по g от х. Това, което следва да направиш, е да избереш f от х така, че производната на f от х да е по-лесен израз от f от х. И да избереш g' от х така, че ако трябва да намериш примитивната ѝ функция, да не се усложнява изразът. В този случай, ако изберем f от х да е равно на х, то f' от х определено е по-лесен израз. f' от х е равно на 1. Ако изберем g' от х да е косинус х, ако намерим примитивната ѝ функция, т.е. синус от х, това отново не е по-сложен израз. Ако е обратното, например f от х да е косинус х, то ето тук търсим производната ѝ. Това не усложнява израза. Ако обаче изберем g' от х да е равно на х, и следва да намерим примитивната ѝ функция, то получаваме х квадрат върху 2, тогава вече изразът се усложнява. Нека изясня тази особеност. Избираме f от х да е равно на х. Това означава, че производната на f ще бъде равна на 1. Ще го запиша ето тук. Избираме g' от х да бъде равно на косинус х, което означава, че g от х е равно на синус х. Тоест примитивната функция на косинус х. Сега да видим според тези предположения как може да приложим изведената формула. Известно ни е всичко необходимо. Отдясно имаме f от х по g от х. f от х е равно на х. g от х е равно на синус х. И от този израз ще извадим примитивната функция f' от х, което е равно на 1, по g от х, умножено по синус х, dx. Това води до голямо опростяване. Сега преминах от решение на този интеграл от х по косинус х, до решение на интеграл от синус х. Знаем, че примитивната функция на синус х, dx, е равна на минус косинус х. Разбира се може да прибавим константа С, защото сме почти готови с намиране на примитивната функция. Всичко това ще бъде равно на х по синус х минус примитивната функция на този израз, който е просто минус косинус х. И прибавяме константа С в края на израза. Няма значение дали ще извадим или прибавим С. Това е просто произволна константа, която дори може да е отрицателна. Всичко това ще бъде равно на следното. Заслужаваме поздравления вече. Получава се х по синус х минус минус, т.е. плюс косинус х, плюс С. И сме готови! Намерихме примитивната функция на нещо, на което не знаехме как да намерим примитивната функция преди. Тази задача беше много интересна.