Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 1
Урок 17: Интегриране по части- Въведение в интегрирането по части
- Интегриране по части: ∫x⋅cos(x)dx
- Интегриране по части: ∫ln(x)dx
- Интегриране по части: ∫x²⋅𝑒ˣdx
- Интегриране по части: ∫𝑒ˣ⋅cos(x)dx
- Интегриране по части
- Интегриране по части: определени интеграли
- Интегриране по части: определени интеграли
- Предизвикателство върху интегриране по части
- Обобщение върху интегриране по части
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Интегриране по части: ∫x⋅cos(x)dx
Пример за решаване на интеграл с лесно приложение на интегрирането по части. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
В последния урок заявих, че тази
формула е подходяща за решаване
или намиране на примитивната функция на
определен вид функции. Нека проверим дали това е така. Нека да кажем, че искам да намеря
примитивната функция на х по косинус от х, dx. Ако сега разгледаш тази формула тук, следва да избереш част от дадения
израз да е f от х, а друга част да е g' от х. И въпросът е дали да избереш
f от х да е х, а g' от х да е косинус х, или обратното. Дали да избера f от х да е косинус х,
а g' от х да е х? И нещо, което трябва да разбереш, е, че трябва да погледнеш останалата
част от формулата и да разбереш, че ще трябва да
решиш този интеграл ето тук. А тук присъства производната на f от х по g от х. Това, което следва да направиш,
е да избереш f от х така, че производната на f от х да е по-лесен израз от f от х. И да избереш g' от х така, че ако трябва да намериш
примитивната ѝ функция, да не се усложнява изразът. В този случай, ако изберем f от х да е равно на х, то f' от х определено
е по-лесен израз. f' от х е равно на 1. Ако изберем g' от х да е косинус х, ако намерим примитивната ѝ
функция, т.е. синус от х, това отново не е по-сложен израз. Ако е обратното, например f от х да е косинус х, то ето тук търсим производната ѝ. Това не усложнява израза. Ако обаче изберем g' от х
да е равно на х, и следва да намерим
примитивната ѝ функция, то получаваме х квадрат върху 2,
тогава вече изразът се усложнява. Нека изясня тази особеност. Избираме f от х да е равно на х. Това означава, че производната на f ще бъде равна на 1. Ще го запиша ето тук. Избираме
g' от х да бъде равно на косинус х, което
означава, че g от х е равно на синус х. Тоест примитивната функция
на косинус х. Сега да видим според тези
предположения как може да приложим изведената
формула. Известно ни е всичко необходимо. Отдясно имаме f от х по g от х. f от х е равно на х. g от х е равно на синус х. И от този израз ще извадим
примитивната функция f' от х, което е равно на 1, по g от х, умножено по синус х, dx. Това води до голямо опростяване. Сега преминах от решение на този
интеграл от х по косинус х, до решение на интеграл от синус х. Знаем, че примитивната функция
на синус х, dx, е равна на минус косинус х. Разбира се може да прибавим
константа С, защото сме почти готови с намиране на примитивната
функция. Всичко това ще бъде равно на х по синус х минус
примитивната функция на този израз, който е просто
минус косинус х. И прибавяме константа С
в края на израза. Няма значение дали ще извадим
или прибавим С. Това е просто произволна константа, която дори може да е отрицателна. Всичко това ще бъде равно на
следното. Заслужаваме поздравления вече.
Получава се х по синус х минус минус, т.е. плюс косинус х, плюс С. И сме готови! Намерихме примитивната
функция на нещо, на което не знаехме как да намерим
примитивната функция преди. Тази задача беше много интересна.