Интегриране по части: ∫ln(x)dx

Целта на настоящия урок е да намерим примитивната функция на натурален логаритъм от х. На пръв поглед не е очевидно как да подходим към задачата. Дори и да ти кажа да използваш интегриране по части, ще възразиш, че при интегрирането по части търсиш примитивната функция на нещо, което може да бъде представено като произведение на две функции. Тук изглежда, че имаме само една функция. И тя е натурален логаритъм от х. Може обаче да стане малко по-ясно, ако запиша дадения израз като интеграл от натурален логаритъм от х по 1, dx. Ето сега имаме произведение от две функции. Едно е функция, т.е. функция на х. Не зависи от х, защото винаги ще бъде равна на 1. Може обаче да изберем f от х да е равно на 1. А сега може да стане малко по-ясно, че трябва да се използва интегриране по части. Интегрирането по части гласи, че ако имаме интеграл, който може да се представи като произведение на една функция и производна на друга функция. Това е просто обратно на правилото за производна на произведение. Вече показахме това множество пъти. Този интеграл е равен на произведението от двете функции f от х по g от х, минус примитивната функция, но не от f от х и g' от х, а от f' и g. Интеграл от f' от х по g от х, dx. Виждали сме това множество пъти. Когато избираш коя функция да бъде f и коя да бъде g, за f искаш да избереш тази, чиято производна е лесна за намиране и не усложнява израза, ако търсиш производната ѝ, разбира се. А за g' от х искаш да избереш функция, чиято примитивна функция се намира лесно. Добър кандидат за f от х е натурален логаритъм от х. Ако трябва да намериш производната ѝ, то тя е 1 върху х. Нека го запиша. Нека кажем, че f от х е равно на натурален логаритъм от х. Тогава f' от х е равно на 1 върху х. Нека g' от х да бъде равно на 1. g' от х е равно на 1. Това означава, че g от х може да бъде равно на х. Нека да се върнем ето тук. Тогава този интеграл е равен на f от х по g от х. f от х по g от х е равно на х по натурален логаритъм от х. Тогава g от х е х, а f от х е натурален логаритъм от х. Предпочитам да записвам х пред натурален логаритъм от х, за да избегна двусмислие. Следователно това е х по натурален логаритъм от х минус примитивната функция на f' от х, която е 1 върху х, по g от х, която е х. Тоест получава се х, dx. И на какво е равно това? Под интеграла имаме 1 върху х по х, което е равно на 1. Изразът се опрости много добре. Тогава ще се получи х по натурален логаритъм от х минус примитивната функция на dx, т.е. примитивната функция на 1 по dx, или примитивната функция от 1, или просто получаваме минус х. Този израз е примитивната функция на първоначалния интеграл. Ако искаме да запишем пълния вид на примитивната функция, просто следва да прибавим константа С. И сме готови! Намерихме примитивната функция на натурален логаритъм от х. Насърчавам те да намериш производната на получения резултат. За първата част ще използваш правилото за произведение. Целта е да се увериш, че наистина ще получиш натурален логаритъм от х, когато диференцираш крайния резултат.