Интегриране по части: определени интеграли

В настоящия урок ще изчислим определен интеграл от 0 до π от х косинус х, dx. Както обикновено – спри видеото и опитай да се справиш самостоятелно. Когато погледнеш задачата не е очевидно, как да намериш примитивната функция и след това да изчислиш интеграла за π, и от тази стойност да извадиш изчислената за 0. Тогава ще трябва да използваме по-различна техника. Тук виждаме произведение от функции. Една от тях има лесна за намиране примитивна функция, без да усложнява интеграла – например косинус х – а производната на другата х е по-проста. В този случай ще стане просто едно. Това е добър знак, че трябва да използваме интегриране по части. Нека си припомним интегрирането по части. Ще го запиша ето тук. Нека имаме даден един интеграл, който е неопределен, защото в дадената задача имаме да намерим такъв, а след това да го изчислим за π и 0. Нека имам функциите f от х по g' от х, dx. Това ще бъде равно на следното. В предни уроци сме го доказвали. Това следва направо от правилото за производна на произведение, което сме научили от диференциалното смятане. Ще бъде равно на f от х по g от х - след това разменяме реда и операциите - минус f' от х по g от х, dx. Нека повторя това, което казах преди малко. Избираме f от х да е такава, че когато намерим производната ѝ да стане по-опростена. И избираме g' от х такава, че когато намерим примитивната ѝ функция, то интегралът не се усложнява. Не става по-сложен от дадения. Ако f от х се опрости при намиране на производната ѝ, а g' от х не усложнява интеграла за изчисление, когато намерим примитивната ѝ функция, то ето този израз ще има по-лесна за намиране примитивна функция. Нека приложим това за дадения интеграл. От х и косинус х, коя от двете има по-лесен израз за производна? Производната на х е просто 1, така че ще избера х да е f от х. Ще го запиша ето тук. f от х е равно на х, което означава, че f' от х ще бъде равно на 1. Тогава на какво ще бъде равно g' от х? g' от х е косинус х. Ако намеря примитивната ѝ функция, то тя не усложнява интеграла за решение. Примитивната функция на косинус х е синус х. Нека тогава косинус х да е g' от х. g' от х е равно на косинус х. Тогава g от х, т.е. примитивната функция на косинус х, е равна на синус х. С други думи, производната на синус х е косинус х. Може би си мислиш за константата С, но си припомни, че търсим определен интеграл, така че тези произволни константи просто ще се унищожат. Нека продължим нататък. Нека да приложим интегрирането по части. Тогава първоначалният интеграл е равен на следното. Записвам го тук долу. Ще бъде равен на f от х по g от х. f от х е равно на х, а g от х е равно на синус х. f от х по g от х минус интеграл от f' от х, което е просто 1. Записваме го ето така и по g от х. g от х е синус х, т.е. може да го запишем ето така. Едно по синус х може да запишем и само като синус х, за да го опростим. Синус от х, dx. Припомни си, че това е определен интеграл и искаме да изчислим целия този израз за π и за 0, и да направим разликата между двете. А на какво е равен неопределен интеграл от синус х, dx? Тоест примитивната функция. Знаем, че примитивната функция на косинус х е минус сунус х. Тогава може да внесем този знак минус под интеграла, за да получим плюс интеграл от минус синус х. Сега вече примитивната функция на този израз е косинус х, така че това ще бъде косинус х. Сега просто следва да изчислим израза в дадените крайни точки. Нека първо го изчислим за π. Ще бъде равно на π по синус π, плюс косинус π. И от това ще извадя същия израз, изчислен за 0. Нека го запиша с друг цвят. Ще се получи 0 по синус от 0, плюс косинус от 0. Нека да видим. Синус π е просто 0 и тогава този член се унищожава. Косинус π е равно на минус 1. Този член е равен на 0, а след това имаме косинус 0, което е равно на 1. Остава минус 1 минус 1, което дава резултат минус 2. И сме готови. Чрез интегриране по части успяхме да изчислим този определен интеграл.