Интегриране по части: ∫x²⋅𝑒ˣdx

Нека проверим дали можем да намерим примитивната функция от х квадрат по е на степен х, dx. Ключовото нещо, е да разбереш кога можеш да използваш интегрирането по части. Може да е очевидно в този пример, защото урокът е за интегриране по части. Насока, че интегрирането по части е подходящо, е да забележиш, че имаш функция, която е произведение на две други функции. В този случай х квадрат и е на степен х. Интегрирането по части може да се използва, ако можеш да намериш производната на една от тях и интегралът да се опрости. А ако намериш производната на другата, то интегралът да не се усложни. Ако тук трябва да намеря примитивната функция на х квадрат, задачата се опростява. Получава се 2х. Ако търся производната на е на степен х, то задачата не става по-сложна. Нека изберем f от х да е равно на х квадрат. Искаме това да е случаят, при който, ако търся производната, то интегралът се опростява. Следва от това, че ще трябва да намеря производната на f от х ето тук по формулата за интегриране по части. Нека изберем g' от х да е равно на е на степен х, защото по-късно в задачата ще търся примитивната ѝ функция. А примитивната функция на е на степен х е пак е на степен х. Нека да запиша това. Ще го направя ето тук. Избираме f от х да е равно на х квадрат, при което f' от х ще бъде равно на 2 по х. В момента не се притеснявам за константите. Просто ще прибавим константа накрая. за да се уверим, че примитивната функция има най-общ вид. След това g' от х е равно на е на степен х, което означава, че примитивната ѝ функция g от х отново е равна на е на степен х. Сега вече сме готови да приложим дясната част от формулата ето тук. Ето този интеграл тук ще бъде равен на f от х, което е х квадрат – нека го запиша под f от х – умножено по g от х, което е е на степен х. Ще запиша следващата част в жълто. Искам цветовете да съвпадат. Минус примитивната функция на f' от х. f' от х е 2 по х, умножено по g от х. g от х е равно на е на степен х, dx. Може би ще кажеш, че сме останали с друга примитивна функция. Тоест друг неопределен интеграл ето тук. Как да решим този интеграл? Както може би се досещаш, решението може да е отново да интегрираме по части. Имаме напредък. Този израз тук е по-лесен от първоначалния. Забележи, че успяхме да понижим степента на х квадрат. Сега е просто 2 по х. Какво можем да направим, за да опростим малко този израз? 2 е скаларна величина, т.е. константа, т.е. умножена е по функцията. Тогава можем да я изнесем пред знака за интеграл. Нека го направим ето така. Нека го запиша по следния начин. Може да изнесем само константа, която е умножена по функцията. Нека поставя 2 ето тук. Това, което ни интересува сега, е намиране на следния интеграл. Нека го запиша ето тук. Интеграл от х по е на степен х, dx. Това отново е задача за интегриране по части. Нека отново приложим принципите за интегриране по части. Когато търся производна на функцията, то тя по-лесна за изчисление ли е? Производната на х е лесна за изчисление. За целите на интегрирането по части, нека изберем сега f от х да е равно само на х. И отново може да изберем g' от х да е равно на е на степен х Ще запиша всичко по-надолу. В този случай f от х е равно на х. f' от х е равно на 1. g' от х е равно на е на степен х. g от х е примитивната функция на този израз и е равна на е на степен х. Нека сега отново приложим интегриране по части. Този интеграл ще бъде равен на f от х по g от х. Сега f от х е равно на х. g от х е равно на е на степен х минус примитивната функция на f' от х, която е само 1, по g от х, т.е. по е на степен х. Получава се просто 1 по е на степен х, dx. Ако изгубиш нишката на това, което правя, спомни си, че търся ето тази примитивна функция. Тази примитивна функция е ето тази примитивна функция. Ако намерим на какво е равна, можем да я заместим обратно е първоначалния израз. Ето сега можеш да оцениш интегрирането по части. До какво се опростява този интеграл? Каква е примитивната функция на 1 по е на степен х, dx? Тоест, каква е примитивната функция на 1 по е на степен х? Просто примитивната функция на е на степен х, което е е на степен х. Тогава изразът придобива вида х по е на степен х минус примитивната функция на е на степен х, която е просто е на степен х, така че минус е на степен х. Сега може да вземем този израз и да го заместим обратно. Този израз е примитивната функция на ето този. Следователно може да го заместим ето тук горе, за да намерим примитивната функция на първоначалния израз. Тогава за примитивната функция на първоначалния израз се получава следното. Приближаваме се към решението. Ще бъде равно на следното. Ще използвам различни цветове, за да проследим нещата. Ще бъде равно на х квадрат по е на степен х минус 2, по целия този израз. Следва минус 2 по ето тази примитивна функция, която току-що намерихме, че е равна на този израз. Минус 2 по х, по е на степен х, минус е на степен х. Сега е удобен момент да прибавим константата С. Разбира се, можем и да опростим този израз. Равно е на х квадрат. Искам да продължа със същите цветове. Равно е на х квадрат по е на степен х. Умножаваме в скобите по минус 2. Получава се минус 2 по х, по е на степен х, плюс 2 по е на степен х. И накрая имаме плюс С. И сме готови! Намерихме примитивната функция на израз, който изглеждаше страшен, като интегрирахме по части два пъти.