If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:4:33

Видео транскрипция

Нека проверим дали можем да намерим неопределен интеграл от синус квадрат от х по косинус на трета от х, dx. Както винаги препоръчвам да спреш видеото и да провериш дали можеш да се справиш самостоятелно. Добре! Когато погледнеш израза, може би си мислиш: "О, само ако това беше синус от х, а не синус квадрат от х." "Тогава синус квадрат от х би било производната на косинус от х със знак минус." "Тогава можех да интегрирам със заместване." "Аналогично, ако това беше просто косинус от х, а не косинус на трета от х, можех да интегрирам със заместване." "Можеше да положа (заместя) u да е равно на синус от х, но не мога да го направя за дадения израз." Основната идея тук е следната. Някоя от тези две функции да притежава нечетна степен. В случая едната от тях, т.е. косинус от х, има нечетна степен. Това, което следва да направиш, е алгебрично да преобразуваш дадената функция под интеграла, така че да може да интегрираш със заместване. Например, ако имаш нечетна степен както тук, можеш да изнесеш един косинус от х, а след това да използваш основното тригонометрично тъждество за останалия израз косинус квадрат от х. Какво имам предвид с това? Нека да го запиша. Имаме синус квадрат от х, умножено по следното нещо. Нека го запиша ето така. Умножено по косинус квадрат от х по косинус от х. Представих нещо на трета степен като нещо на втора степен, умножено по нещо на първа степен, dx. Този интеграл може да запишем ето така. Имаме синус квадрат от х, а след това ще използваме основното тригонометрично тъждество, за да представим косинус квадрат от х като 1 минус синус квадрат от х. Тоест този израз, според основното тригонометрично тъждество, е същото нещо като 1 минус синус квадрат от х, а след това имаме косинус от х. Тоест по косинус от х, dx. Сега можем да разкрием скобите и да умножим по 1 минус синус квадрат от х. Получава се следното. Нека това произведение го запиша с друг цвят. Неопределен интеграл от синус квадрат от х, умножено по 1, т.е. синус квадрат от х, а след това синус квадрат от х, умножено по минус синус квадрат от х, което е минус синус на четвърта по х. Всичко това е умножено по косинус от х. Умножаваме този израз по косинус от х, dx. Това вече изглежда интересно, защото има синус от х квадрат минус синус на четвърта от х. А производната на синус е ето тук, извън скобите. Която е косинус от х и това е причината да приложим това алгебрично преобразувание. Сега интегрирането със заместване ще ни помогне много. Причината е следната. Нека да използвам друг цвят. Ще използвам лилаво. Ако положим u да е равно на синус от х, то du ще бъде равно на косинус от х, dx. Това се получава много добре, защото du е ето тази част тук, а в скобите ще се получи u квадрат минус u на четвърта, на който израз можем да намерим примитивната функция. Това е основната идея. Може да запишем всичко като неопределен интеграл, и вместо синус квадрат от х заместваме положения израз за u. Получаваме u квадрат минус u на четвърта, умножено по du. Това е сравнително лесно. Сега ще се получи u на трета върху 3 минус u на пета върху 5 плюс C. След това просто заместваме обратно положеното за u, т.е. на мястото на u ще имаме синус от х. Следователно получаваме синус на трета от х върху 3, минус синус на пета от х. Нека изпиша отново тази петица. Синус на пета от х върху 5 плюс С. И сме готови.