Нека проверим дали
можем да изчислим неопределен интеграл
от косинус на трета от х, dx. Насърчавам те да спреш
видеото и да опиташ да се справиш
самостоятелно. Вярвам, че опита да решиш
задачата, но може би се затрудняваш. Може и да успя
да я решиш, но може и да те е затруднила. Може би си мислиш: "Добре,
имам косинус на трета. А само ако имах и производната
на косинус тук. Тоест, ако имах минус
синус от х, или синус от х, тогава можех да интегрирам
чрез заместване." "Как сега да намеря
примитивната функция от косинус х на трета?" Ключовото нещо тук
е да използваш основните тригонометрични
тъждества. Какво имам предвид с това? Знаем, че синус квадрат от х
плюс косинус квадрат от х е равно на 1. Тогава, ако извадим
синус квадрат от х от двете страни, то ще получим,
че косинус квадрат от х се получава равно на 1 минус синус
квадрат от х. Знаем, че косинус на трета е равно на косинус на квадрат
по косинус. Какво ще се получи, ако го представим така? Нека го запиша. Това е същото като
косинус от х, умножено по косинус
квадрат от х, dx. Какво ще стане, ако заместя
ето този израз тук? Нека да го подчертая с лилаво. Какво ще стане, ако взема
този израз и го заместя с ето този тук? Знам какво си мислиш. "Сал, с какво ще помогне това?" "Така сякаш интегралът
става дори още по-заплетен." Нека ти кажа следното. Изглежда, че така интегралът
става по-сложен, но, ако го разгледаш
и анализираш, ще видиш, че всъщност това прави интеграла по-лесен
за решение. Нека да го пробваме. Ако го направим, ще получим неопределен интеграл
от косинус от х, умножено по 1 минус синус
квадрат от х, dx. На какво ще бъде равен
този израз? Ще бъде равен на следното. Нека го запиша с този
зелен цвят. Ще бъде равно на неопределен интеграл
от следното. Просто ще разкрия скобите,
като умножа по косинус от х. Получавам косинус от х минус косинус от х
по синус квадрат от х. След това затварям скобите
и записвам по dx. Това, разбира се, ще бъде
равно на интеграл от косинус от х, dx – знаем какво ще се получи –
минус интеграл от останалата част. Сега ще запиша всичко
с един цвят. Остава минус интеграл от косинус х
по синус квадрат от х, dx. Ето тук задачата става
интересна. Тази част ето тук
се решава директно. Примитивната функция на косинус х
е равна на синус х. Това ето тук ще бъде
равно на синус от х. Следва да внимавам за константата
накрая. И двата интеграла ще имат плюс C накрая, така че
мога направо да поставя едно голямо
плюс C накрая. Получихме синус от х.
А след това какво се получава ето тук? Може би забелязваш, че имаме
функцията синус х, която е повдигната на квадрат. А след това имаме производната
на синус х ето тук. Това означава, че имаме
производната на една функция, а след това имаме друга функция, която представлява функция
от първата функция. Например g от f от х. Това е знак, че може да използваме
интегриране със заместване. Това вече сме го срещали множество пъти. Следователно
може да заявиш: "Ако имам функция от
друга функция и производна от вътрешната
функция, то мога просто да намеря
примитивната функция спрямо вътрешната функция. Това е равносилно на твърдението, че примитивната функция на малко g
е главно G от f от х. Главно G от f от х плюс С. Ако не разбираш това,
което току-що записах, нека интегрираме със заместване,
като решаваме задачата стъпка по стъпка. Нека да постъпим така, за да можеш
да си изясниш нещата. Това е целта на тези
видео-уроци. Ако положим (заместим)
u да е равно на синус х, то du ще бъде равно на
косинус х, dx. Този и този член
ще ни дадат du, a този член е равен
на u квадрат. Тук имаме минус и следва интеграл от
u квадрат, du. На какво ще е равен
този израз? Ще бъде равен на
минус u на трета степен върху 3. Знаем на какво е равно u. u е равно на синус х. Имаме синус х ето тук,
т.е. първата част от интеграла. От първоначалния
интеграл. Записваме синус от х
и остава следното. Нека го запиша ето така. Минус 1/3 и вместо u не трета – защото
знаем, че u е равно на синус х – записваме синус на трета от х. Сега вече може да прибавим
константата С ето тук. И сме готови! Току-що изчислихме този
неопределен интеграл. Основната идея тук
е да използваш тригонометричните тъждества,
така че да преобразуваш интеграла във вид, където може
да използваш верижното правило, но в обратна
посока, т.е. да интегрираш със заместване. Това е просто друг начин
да изразим верижното правило
в обратна посока.