Интеграл от cos^3(x)

Нека проверим дали можем да изчислим неопределен интеграл от косинус на трета от х, dx. Насърчавам те да спреш видеото и да опиташ да се справиш самостоятелно. Вярвам, че опита да решиш задачата, но може би се затрудняваш. Може и да успя да я решиш, но може и да те е затруднила. Може би си мислиш: "Добре, имам косинус на трета. А само ако имах и производната на косинус тук. Тоест, ако имах минус синус от х, или синус от х, тогава можех да интегрирам чрез заместване." "Как сега да намеря примитивната функция от косинус х на трета?" Ключовото нещо тук е да използваш основните тригонометрични тъждества. Какво имам предвид с това? Знаем, че синус квадрат от х плюс косинус квадрат от х е равно на 1. Тогава, ако извадим синус квадрат от х от двете страни, то ще получим, че косинус квадрат от х се получава равно на 1 минус синус квадрат от х. Знаем, че косинус на трета е равно на косинус на квадрат по косинус. Какво ще се получи, ако го представим така? Нека го запиша. Това е същото като косинус от х, умножено по косинус квадрат от х, dx. Какво ще стане, ако заместя ето този израз тук? Нека да го подчертая с лилаво. Какво ще стане, ако взема този израз и го заместя с ето този тук? Знам какво си мислиш. "Сал, с какво ще помогне това?" "Така сякаш интегралът става дори още по-заплетен." Нека ти кажа следното. Изглежда, че така интегралът става по-сложен, но, ако го разгледаш и анализираш, ще видиш, че всъщност това прави интеграла по-лесен за решение. Нека да го пробваме. Ако го направим, ще получим неопределен интеграл от косинус от х, умножено по 1 минус синус квадрат от х, dx. На какво ще бъде равен този израз? Ще бъде равен на следното. Нека го запиша с този зелен цвят. Ще бъде равно на неопределен интеграл от следното. Просто ще разкрия скобите, като умножа по косинус от х. Получавам косинус от х минус косинус от х по синус квадрат от х. След това затварям скобите и записвам по dx. Това, разбира се, ще бъде равно на интеграл от косинус от х, dx – знаем какво ще се получи – минус интеграл от останалата част. Сега ще запиша всичко с един цвят. Остава минус интеграл от косинус х по синус квадрат от х, dx. Ето тук задачата става интересна. Тази част ето тук се решава директно. Примитивната функция на косинус х е равна на синус х. Това ето тук ще бъде равно на синус от х. Следва да внимавам за константата накрая. И двата интеграла ще имат плюс C накрая, така че мога направо да поставя едно голямо плюс C накрая. Получихме синус от х. А след това какво се получава ето тук? Може би забелязваш, че имаме функцията синус х, която е повдигната на квадрат. А след това имаме производната на синус х ето тук. Това означава, че имаме производната на една функция, а след това имаме друга функция, която представлява функция от първата функция. Например g от f от х. Това е знак, че може да използваме интегриране със заместване. Това вече сме го срещали множество пъти. Следователно може да заявиш: "Ако имам функция от друга функция и производна от вътрешната функция, то мога просто да намеря примитивната функция спрямо вътрешната функция. Това е равносилно на твърдението, че примитивната функция на малко g е главно G от f от х. Главно G от f от х плюс С. Ако не разбираш това, което току-що записах, нека интегрираме със заместване, като решаваме задачата стъпка по стъпка. Нека да постъпим така, за да можеш да си изясниш нещата. Това е целта на тези видео-уроци. Ако положим (заместим) u да е равно на синус х, то du ще бъде равно на косинус х, dx. Този и този член ще ни дадат du, a този член е равен на u квадрат. Тук имаме минус и следва интеграл от u квадрат, du. На какво ще е равен този израз? Ще бъде равен на минус u на трета степен върху 3. Знаем на какво е равно u. u е равно на синус х. Имаме синус х ето тук, т.е. първата част от интеграла. От първоначалния интеграл. Записваме синус от х и остава следното. Нека го запиша ето така. Минус 1/3 и вместо u не трета – защото знаем, че u е равно на синус х – записваме синус на трета от х. Сега вече може да прибавим константата С ето тук. И сме готови! Току-що изчислихме този неопределен интеграл. Основната идея тук е да използваш тригонометричните тъждества, така че да преобразуваш интеграла във вид, където може да използваш верижното правило, но в обратна посока, т.е. да интегрираш със заместване. Това е просто друг начин да изразим верижното правило в обратна посока.