Интегриране с използване на дълго деление

Провери дали можеш да изчислиш дадения интеграл ето тук. Предполагам, че вече опита. Нека да го решим заедно. Може би виждаш, че някои традиционни методи, с които разполагаме, не могат директно да бъдат приложени. Например чрез интегриране със заместване или нещо друго. Ключовото нещо тук е, че имаме рационален израз, при който числителят има еднаква или по-висока степен от знаменателя. В дадения пример числителят и знаменателят имат една и съща степен. Когато срещнеш нещо такова, може би е добра идея да разделиш числителя на знаменателя. А и този рационален израз може да бъде интерпретиран така. (х – 5), разделено на (–2х + 2). Това е алгебрично деление с опашка. За да разделим наистина х минус 5 на минус 2х плюс 2, нека да видим дали можем да преобразуваме интеграла в удобен вид за изчисление. Нека го направим. Вземаме х минус 5. х минус 5. И го разделяме на минус 2х плюс 2. Минус 2х плюс 2. Гледаме членовете с най-високи степени. Колко пъти –2х се съдържа в х? Съдържа се –1/2 пъти. Минус 1/2 по 2 е минус 1. Минус 1/2 по минус 2х ще бъде равно на плюс х. Ето така. Сега искаме да извадим жълтия израз от този син израз. Ще умножа по минус 1 и ще го прибавя. Ще получа отрицателния му израз и просто ще го прибавя. Остава само минус 5 плюс 1, което е минус 4. Може да кажем, че минус 2х плюс 2 се съдържа в х минус 5 минус 1/2 пъти с остатък минус 4. Тогава може да запишем интеграла по следния начин. Записваме го като минус 1/2, минус 4, върху минус 2 по х плюс 2, dx. Изглежда че може да опростим този израз още малко. Числителят и знаменателят са кратни числа на 2. Всеки от тези членове е кратен на 2. Всъщност присъстват и ето тези знаци минус, което допълнително усложнява израза. Нека да разделим числителя и знаменателя на минус 2. Какво ще се получи тогава? Разделяме числителя на минус 2. Ако това е минус 4, то ще се получи плюс 2. Ако разделим минус 2х на минус 2, то се получава х. Остава да разделим 2 на минус 2, което ще ни даде минус 1. Преобразувахме дадения интеграл. Това е просто алгебра. Дотук имаме само алгебра. Просто преобразувахме израза чрез алгебрично деление с опашка. Дадения интеграл се опростява до минус 1/2... може би ще възразиш, че се опростява, но така наистина е много по-лесно да го изчислим – минус 1/2 плюс 2 върху х минус 1, dx. А как сега да изчислим този израз? Примитивната функция на минус 1/2 е лесно да намерим. Получава се минус 1/2 по х, плюс примитивната функция на 2 върху х минус 1. Може би ще го сметнеш наум. Производната от х минус 1 е равна на 1, което показва, че производната се намира в числителя. Може всъщност да използваме заместване (полагане) и да си кажем "Ако търсим примитивната функция спрямо х на х минус 1, тя ще бъде равна на натурален логаритъм от модул (абсолютна стойност) от х минус 1." Ако се объркваш по този начин, те оставям да го направиш чрез заместване. Ако искам да намеря интеграл от 2 върху х минус 1, dx, може да използвам следното. Производна от х минус 1 е равно на 1. Тогава мога да положа (заместя) u да е равно на х минус 1. Следователно du ще бъде равно на dx. Изразено чрез u този интеграл е равен на следното. Изнасям константата пред интеграла. Имаме 2 по интеграл от 1/u, du, което знаем, че е равно на 2 по натурален логаритъм от модул от u плюс С. Знаем, че u е равно на х минус 1. Следователно това е равно на 2 по натурален логаритъм от х минус 1 плюс С. Това получаваме за израза, който имаме ето тук. Записваме плюс 2 по натурален логаритъм от модул от х минус 1 плюс С. Константата С не следва от интеграла тук долу, а като резултат от целия първоначален интеграл. Това е просто някакво число, защото, когато намерим обратно производната, константата е равна на 0. Нека добавя плюс С ето тук. И сме готови.