If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Интегриране с използване на допълване до точен квадрат и производната на аркустангенс(х)

Понякога можем да интегрираме рационални функции, като използваме метода на допълване до точен квадрат в знаменателя и после интегрираме чрез заместване и използваме знанията си за производната на аркустангенс(х).

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Нека проверим дали можем да намерим неопределен интеграл от 1 върху 5 по х квадрат, минус 30 по х плюс 65, dx. Спри видеото и провери дали можеш да го решиш. Добре, това ще бъде интересна задача. Ще бъде малко трудна, но ще се справим с нея заедно. Ако опиташ директно няколко метода за интегриране, може би ще стигнеш до задънена улица. Всъщност тук ще допълним знаменателя до точен квадрат. По този начин ще получим израз, който по вид изглежда като производната на аркустангенс. Ако това ти помага достатъчно, спри видеото отново и продължи самостоятелно. Добре, нека сега го направим заедно. Ще опитам да опростя знаменателя, така че коефициентът пред х квадрат да е единица. Мога просто да изнеса числото 5 от знаменателя. Тогава ще се получи 1/5 по интеграл от 1 върху следното. Изнесох 5 от знаменателя, така че се преобразува до х квадрат минус 6х плюс 13, dx. След това, както казах, ще допълня до точен квадрат знаменателя. Нека го запиша отново. Равно е на 1/5, умножено по интеграл от следното. х квадрат минус 6 по х определено не е точен квадрат в момента. Плюс 13 ще го запиша ето тук настрани. Какво мога да прибавя, което и да извадя след това, за да не променя стойността на знаменателя? Целта е да приведа ето тази част от израза към точен квадрат. Правили сме това и преди. Взимаме половината от коефициента пред х, което е минус 3, и го повдигаме на квадрат. Следователно искаме да прибавим 9 тук. Ако прибавим 9, то трябва и да извадим 9. Тогава тази част се получава х минус 3 на квадрат, а ето тази тук ще се получи равно на плюс 4. Нека не забравяме dx ето тук. Нека го запиша ето в този вид. Ще бъде равно на 1/5 по интеграл от 1 – осигурявам си повече място – върху х минус 3 на квадрат, плюс 4, което ще запиша като 2 на квадрат. Нека го запиша ето така – плюс 2 квадрат, dx. Може би вече виждаш, че това прилича много на аркустангенс, но ще опростя израза дори още повече, за да стане още по-ясно, че аркустангенс присъства тук. Всъщност, ще използвам u-полагане, за да го направя. Нека първо да изнесем числото 4 от знаменателя. Така ще се получи 1/5 по 1/4, което е равно на 1/20, умножено по интеграл от 1/х минус 3 на квадрат, върху 2 квадрат, А тук ще остане само плюс 1. И, разбира се, имаме и диференциал dx. А сега може да го запишем ето така. Опитвам се да представя всяка една стъпка. Възможно е да можеш да ги направиш и наум. Ще запиша всичко като 1 върху х минус 3 върху 2, на квадрат, плюс 1. Плюс 1, dx. Сега вече u-субституцията се вижда по-добре. Просто ще положа (заместя) u да е равно на х минус 3 върху 2. Може дори да представим u като 1/2 по х минус 3/2, което е същото като х минус 3 върху 2. Тогава du ще бъде равно на 1/2, dx. Сега ще направя следното. Ще преобразувам израза под интеграла, така че да се получи 1/2 някъде. Ако умножа по 1/2 числителя, то следва да умножа пред интеграла с 2. Разделям на 2 и умножавам по 2. Може и така да го разглеждаш. Тогава след заместване с u се получава 1/10, умножено по следния интеграл. Имам 1/2, dx ето тук, което е същото като du. Следователно мога да поставя du или в числителя, или ето тук накрая. Тогава имам 1 върху нещо. Този израз тук е u на квадрат и остава плюс 1. А сега разпознаваш ли коя е производната на аркустангенс от u? Това ще бъде 1 върху u на квадрат плюс 1. Тогава се получава 1/10, умножено по аркустангенс от u. Разбира се, не забравяме и константата C, защото изчисляваме неопределен интеграл. Сега следва само да заместим обратно положения израз. Знаем, че u е равно на ето този израз тук. Тук вече заслужаваме поздравление. Това ще бъде равно на 1/10 по аркустангенс от u, a u е равно на х минус 3 върху 2, което може да се запише и ето така. Тоест накрая имаме аркустангенс от х минус 3 върху 2, плюс С. И сме готови.