Правило за интегриране на степенна функция

Нека намерим производната спрямо х от х на степен n плюс 1, върху n плюс 1, плюс произволна константа С. Ще приемем тук – защото искаме този израз да е дефиниран – че n е различно от –1. Ако е равно на –1, в знаменателя ще имаме 0, а това е недефинирано. Нека намерим производната на този израз. Ще бъде равна на следното. Производна от х на степен n плюс 1, върху n плюс 1. Може просто да приложим правилото за намиране производна на степен. Степенният показател е (n + 1). Може да го изнесем отпред. Получава се (n + 1) по х на степен... Искам да използвам същия цвят. Цветовете са трудната част. Умножаваме по х на степен n плюс 1, като изваждаме 1 от степенния показател. Просто прилагаме правилото за намиране производна на степен. n плюс 1 минус 1 ще бъде равно на n. Следва да вземем предвид и знаменателя n плюс 1. Разделяме на n плюс 1. След това имаме плюс C. Производната на константа спрямо х, а константата не се променя, когато х се променя, така че е просто равно на 0. Понеже n не е равно на минус 1, знаем, че този израз ще бъде дефиниран. Имаме израз, разделен на себе си, което ще ни даде просто 1. Тогава целият израз се опростява до х на степен n. Следователно производната на първоначалния израз – като това е много обобщено – е равна на х на степен n. Като имаме това предвид, на какво е равна примитивната функция? Нека да избера друг цвят. На какво е равна примитивната функция на х на степен n? Спомни си, че това е просто онова странно изглеждащо означение, което използваме. Ще ти стане по-ясно, когато започнем да смятаме определени интеграли. На какво обаче е равна примитивната функция на х на степен n? Може да кажем и примитивната функция спрямо х, ако искаме. Друг начин да наречем този израз, е неопределен интеграл. Неопределен интеграл. Това е все едно да попитаме: "х на степен n е производната на какво?". Е, ние току-що го решихме. Това е производната на ето този израз. Записахме го в много общ вид. Тук всъщност обхващаме множество от константи. Може да имаме х на степен n плюс 1, върху n плюс 1, плюс 0, плюс 1, плюс 2, плюс π, плюс един милион. Тогава този израз ще бъде равен на х на степен n плюс 1, върху n плюс 1, плюс C. Това е изключително важно. Може да го разглеждаме като правило за намиране на примитивна функция (антипроизводна). Валидно е за всяко число n, което е различно от минус 1. Нека да го изясня. n е различно от минус 1. Отново казвам, този израз няма да е дефиниран, ако n е равно на минус 1. Нека да разгледаме няколко примера, просто за да приложим това правило. Може да го наречеш правило за намиране на примитивна функция. Нека да намерим примитивната функция на х на степен 5. На какво е равна примитивната функция на х на степен 5? Всичко, което трябва да направим, е да видим, че n е равно на 5. Следователно трябва просто да прибавим 1 към степенния показател. Тогава това ще бъде равно на х на степен 5 плюс 1. И след това разделяме на същата тази стойност. Каквато стойност има степенния показател след прибавяне на 1, на същата стойност разделяме в знаменателя, т.е. на 5 плюс 1. Разбира се, искаме да обхванем всички възможни примитивни функции, така че прибавяме C ето тук. Тогава това ще бъде равно на х на степен 6, върху 6, плюс С. Може да го провериш като намериш производната на този израз чрез правилото за намиране производна на степен. Наистина се получава х на 5-та степен. Нека да решим още един. Този път ще го запиша със синьо. Нека да потърсим примитивната функция на... Нека го направим по-интересно. Нека да е 5 по х на степен минус 2, dx. Как ще решим това? Може да направим едно опростяване. Не сме го доказали строго все още. Знаем обаче, че скаларните величини могат да бъдат изнесени или внесени под оператора за производна, когато умножаваме по скаларна величина. Следователно това ще бъде равно на 5 по примитивната функция на х на степен минус 2, dx. А сега може просто да приложим правилото за намиране на примитивна функция. Тогава ще получим, че е равно на 5 по х на степен минус 2 плюс 1, върху минус 2 плюс 1, плюс някаква константа ето тук. След това може да го запишем като 5 по х на степен минус 2 плюс 1. Получава се х на степен минус 1, върху минус 2 плюс 1, т.е. върху минус 1, плюс някаква константа. А това е равно на 5 по минус х на степен минус 1, плюс някаква константа. Ако искаме, можем да разкрием скобите и да умножим по 5. Тогава ще получим минус 5 по х на степен минус 1. А сега може да запишем плюс 5 по константата. Това обаче е просто произволна константа. Тогава това отново е произволна константа. Така че може да го запишем по друг начин. Ако искаме да покажем, че е различна константа, може да запишем, че е C1. Тогава умножаваме 5 по C1 и получаваме друга константа. Може това да означим като С, което е равно на 5 по С1. И ето, че го решихме. Минус 5 по х на степен минус 1, плюс С. И отново, ако изчислиш производната на този израз, ще видиш, че ще получиш ето този израз тук.