Неопределени интеграли: сборове и произведения

Ето тук съм записал две основни свойства на неопределените интеграли. В бъдещи уроци ще видим, че те са много, много важни. Този израз показва, че неопределеният интеграл от сумата на две различни функции е равен на сумата от неопределените интеграли на всяка една от тези функции. А този израз тук показва, че неопределеният интеграл от константа, която не е функция на х, но е умножена по f от x, е равно на същото нещо като произведението на константатата и неопределения интеграл на f от x. Може да го разглеждаш като изнасяне на константата пред интеграла. В следващите уроци ще видим, че това са две много полезни свойства. Ако ги приемаш наготово, няма проблем, можеш да продължиш напред. Но ако искаш някакво доказателство, то това, което ще направя, е да намеря производната от двете страни на това уравнение. Ще използвам свойствата на производните, за да покажа, че производните им са еднакви. Нека го направим. След което може да го прилагаме, когато изчисляваме неопределени интеграли. Това, което ще направя тук, за да докажа, че това е вярно, е да използвам свойствата на производните. Ще намерим производните на двете страни, за да видим, че равенството се запазва, когато се отървем от интегралите. Нека го направим. Нека намерим производната спрямо х от двете страни на това уравнение. Производна спрямо х. Отляво ще получим просто това, което се намира под знака за интеграл. Това ще стане просто f от x плюс g от х. Плюс g от х. А това на какво ще е равно? Може просто да си припомним свойствата на производните. Производната на сума от две функции е просто сумата от двете производни. Това ще бъде дълъг запис. Това ще бъде равно на производната спрямо х от първата част плюс производната спрямо х от втората част. Тази първа част е интегралът f от x, dx. Прибавяме към втория. А това е интегралът g от х, dx. Нека го запиша. Това е f от х, а това е g от х. На какво са равни сега тези изрази? Нека само да запиша ето този знак за равенство ето тук. Тогава това ще бъде равно на следното. Производната от този интеграл спрямо х ще бъде равна на f от х. След това производната на този интеграл спрямо х ще бъде равна просто на g от х. И това очевидно е вярно равенство. Нека сега да се захванем с второто. Нека да приложим същия метод. Да намерим производните от двете страни на уравнението. Производната спрямо х от този израз и производната спрямо х от този израз. Лявата част определено ще бъде C по f от х. Сега ще намерим и дясната част. От свойствата на производните знаем, че производната на константа, умножена по нещо, е равна на константата, умножена по производната на същото нещо. След това имаме интеграла, т.е. неопределения интеграл от f от x, dx. След това този израз просто ще бъде равен на f от x. Следователно лявата страна ще бъде равна на C по f от x. Отново може да видиш, че равенството се запазва. Надявам се, че това е достатъчно, за да се увериш, че тези свойства са верни. По-важното нещо обаче е да знаеш кога да ги прилагаш. Например нека да имам интеграл от х квадрат плюс косинус от х. Неопределен интеграл от този израз. Знаем, че ще ни бъде полезно в бъдеще. Това е същото нещо като интеграла f от x квадрат, dx плюс интеграла от косинус f от х, dx. Този интеграл е същото нещо като този плюс този. Сега може да ги изчислим поотделно. А това е полезно, защото знаем, че ако се опитваме да намерим интеграл например от π, умножено по синус от х, dx, то тогава може да изнесем тази константа пред интеграла. π по никакъв начин не зависи от х. Просто ще си остане равно на π. Може да го изнесем и това ще бъде равно на π по интеграл от синус от х. Две много полезни свойства. Надявам се, че се чувстваш много по-уверено, относно тях.