If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:5:17

Видео транскрипция

Нека да кажем, че искаме да намерим неопределен интеграл от х квадрат по 3 пъти х минус 1, dx. Спри видеото и провери дали можеш да го изчислиш самостоятелно. Каква странна техника трябва да използваме тук? Понякога обаче ще видиш, че най-странната, или може би най-малко странната, но най-добра техника, е просто да опростим израза алгебрично. В този случай какво ще стане, ако разкрием скобите и умножим по това х квадрат? Ще получим полином под знака за интеграл. Следователно това ще бъде равно на интеграла от х квадрат, умножено по три пъти х, което е х на трета степен. Следва минус 1 по х квадрат, което е равно на минус х квадрат, и цялото това по dx. Сега този интеграл е много лесно да се реши. Това ще бъде равно на примитивната функция на функцията х на трета степен, което е х на четвърта степен върху 4. Това ще бъде равно на 3 пъти х на четвърта степен върху 4. Мога да го запиша по следния начин. Нека просто го запиша като х на четвърта степен върху 4. Следва примитивната функция на х квадрат, която е х на трета върху 3. Тоест минус х на трета върху 3. И тъй като това е неопределен интеграл, то може да има константа тук. Нека го запиша. И сме готови! Важният извод тук е, че просто следва да разкриеш скобите и да преобразуваш израза във вид, в който е много по-лесно да се намери примитивната функция. Нека решим още един пример. Нека да кажем, че искаме да намерим неопределен интеграл от един страховит израз. х на трета плюс 3 пъти х квадрат, минус 5, и цялото това върху х квадрат, dx. На какво ще бъде равно това? Спри видеото отново и провери дали можеш да го решиш. Отново, може би ще ти хрумне да използваш някакви странни трикове или нещо такова, но основното, за което да се досетиш тук, е, че може просто да опростиш израза алгебрично. Какво ще се случи, ако просто разделим всеки един от членовете в числителя на х квадрат? Тогава интегралът ще е равен на следното. Отваряме скоби тук. х на трета, разделено на х квадрат, е равно просто на х. 3 пъти х квадрат, разделено на х квадрат, е равно на 3. А минус 5, разделено на х квадрат, може просто да запишем като минус 5 пъти по х на минус втора. И отново, сега просто следва да използваме правилото за намиране на примитивна функция, за да намерим примитивната функция. Това ще бъде равно на следното. Нека да видим. Примитивната функция на х е х квадрат върху 2. х квадрат върху 2 плюс примитивната функция на 3, което е равно само на 3х. Примитивната функция на –5 по х на минус 2 степен. Увеличаваме степента с единица и разделяме на тази същата стойност. Ще се получи минус 5 пъти х на минус първа, защото прибавяме 1 към минус 2. Всичко това разделяме на минус 1, което е същото... А може да го запишем и така. Тези два знака, т.е. имаме минус, а след това разделяме на минус 1. Следователно, просто може да го запишем като плюс 5 пъти х на степен минус първа. А може и да намерим производна от този израз, за да се уверим, че наистина ще ни даде този резултат. Естествено, не искаме да забравим да добавим една константа С. Никога не я забравяй, когато търсиш неопределен интеграл. Добре, нека да решим още един пример, за да се упражним. Нека да кажем, че търсим неопределен интеграл от корен трети от х на степен 5, dx. Спри видеото и провери дали можеш да го изчислиш самостоятелно. Ще опитам да го запиша малко по-прегледно. х на степен 5, dx. Спри видеото и се опитай да го решиш. Тук основното нещо е следното. Просто следва да представиш целия този израз с един степенен показател. Това е равно на неопределен интеграл от х на степен 5, на степен 1/3. Просто записах корен трети като 1/3. Добавяме dx. Това е същото нещо като интеграл от х на степен... Ако повдигна нещо на степен, а след това повдигна тази степен на степен, мога да умножа двата степенни показателя. Това е свойство на степените. х на степен 5/3, dx. Може би ти директно достигна до тази стъпка ето тук. И отново, просто трябва да използваме правилото за намиране на примитивната функция. Този интеграл ще бъде равен на х на степен... Увеличаваме това 5/3 с единица, т.е. прибавяме 3/3 към него. Следователно получаваме х на степен 8/3, а след това разделяме на 8/3, или умножаваме по реципрочното на същата дроб. Така че може просто да запишем 3/8, умножено по х на степен 8/3. И разбира се, имаме да добавим константа C и да го проверим. Ако използваш правилото за намиране производна на степен, тогава ще имаш 8/3 по 3/8, което ще ти даде коефициент единица. След това намаляваме степента с 3/3, т.е. с единица, за да получим 5/3. Което е и точно това, което имахме първоначално. Главният извод от настоящия урок е, че в много случаи най-добрата техника за интегриране е буквално просто първо да опростим израза алгебрично.