If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Интегрално смятане

Курс: Интегрално смятане > Раздел 1

Урок 4: Риманови суми с означение за сума
Математика
Интегрално смятане
Интеграли
Риманови суми с означение за сума
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Риманови суми с означение за сума

Класна стая на Google
Означението за сума може да бъде използвано за записване на Риманови суми по компактен начин. Предизвикателство е, но е и важна стъпка към формалната дефиниция на определения интеграл.
Записът на сума чрез главната гръцка буква сигма (Сигма запис) ни позволява да запишем дълги сборове с един кратък израз. Тъй като знакът за сума има много приложения в математика (и особено в математическия анализ), ще се фокусираме върху това как можем да го използваме при Римановите суми.

Пример за записване на сума на Риман със знак за сума

Представи си, че смятаме с приближение площта под графиката на f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, square root of, x, end square root между x, equals, 0, comma, 5 и x, equals, 3, comma, 5.
Дадена е графиката на функцията y =корен квадратен от x. Оста x е разграфена от 0 до 4. Графиката представлява крива. Кривата започва от (0; 0), движи се нагоре с вдлъбнатост и завършва в точка (4; 2). Областта между кривата и оста х между x = 0,5 и x = 3,5 е оцветена.
И да кажем, че решим да направим това, като запишем израза за дясна сума на Риман с четири равни подразделения, като използваме знака за сума.
На графиката на функцията y има оцветена област, разделена на 4 правоъгълника с широчина 0,75. Всеки правоъгълник докосва кривата с горния си десен ъгъл.
Нека A, left parenthesis, i, right parenthesis да показва площта на i, start superscript, start text, negative, т, и, я, end text, end superscript правоъгълник в нашето приближение.
Площите на правоъгълниците са A1, A2, A3 и A4.
Цялата сума на Риман може да се запише по следния начин:
A, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, A, left parenthesis, i, right parenthesis
Сега трябва да намерим израза за A, left parenthesis, i, right parenthesis.
Широчината на целия интервал open bracket, 0, comma, 5, ;, 3, comma, 5, close bracket е 3 единици, като искаме 4 равни подразделения, затова start color #1fab54, start text, ш, и, р, о, ч, и, н, а, т, а, end text, end color #1fab54 на всеки правоъгълник ще е 3, colon, 4, equals, start color #1fab54, 0, comma, 75, end color #1fab54 деления.
start color #e07d10, start text, Ш, и, р, о, ч, и, н, а, т, а, end text, end color #e07d10 на всеки правоъгълник е стойността на f в дясната крайна точка на правоъгълника (защото това е дясна сума на Риман).
Нека start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd да показва дясната крайна точка на i, start superscript, start text, negative, т, и, я, end text, end superscript правоъгълник. За да намерим x, start subscript, i, end subscript за всяка стойност на i, започваме от x, equals, 0, comma, 5 (лявата крайна точка на интервала) и добавяме средната широчина start color #1fab54, 0, comma, 75, end color #1fab54 многократно.
Лявата страна на първия правоъгълник е при x = 0,5. Добавяме четири пъти 0,75, за да получим страните на правоъгълниците, от x 1 до x 4.
Следователно формулата на start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd е start color #11accd, 0, comma, 5, plus, 0, comma, 75, i, end color #11accd. Сега start color #e07d10, start text, в, и, с, о, ч, и, н, а, т, а, end text, end color #e07d10 на всеки правоъгълник е стойността на f в крайната му дясна точка:
start color #e07d10, f, left parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, square root of, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, end square root, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, square root of, start color #11accd, 0, comma, 5, plus, 0, comma, 75, i, end color #11accd, end square root, end color #e07d10
И така стигнахме до общия израз за площта на i, start superscript, start text, negative, т, и, я, end text, end superscript правоъгълник:
A(i)=широчина⋅височина=0,75⋅0,5+0,75i\begin{aligned} A(i)&=\greenD{\text{широчина}}\cdot\goldD{\text{височина}} \\\\ &=\greenD{0{,}75}\cdot\goldD{\sqrt{\blueD{0{,}5+0{,}75i}}} \end{aligned}
Сега ни остана само да сумираме този израз за стойностите на i от 1 до 4:
=A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=∑i=14A(i)=∑i=140,75⋅0,5+0,75i\begin{aligned} &\phantom{=}A(1)+A(2)+A(3)+A(4) \\\\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^4 A(i) \\\\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^4 0{,}75\cdot\sqrt{0{,}5+0{,}75i} \end{aligned}
И сме готови!

Обобщаване на процеса по записване на сумата на Риман със знак за сума Сигма

Представи си, че искаме да сметнем с приближение площта под графиката на f в интервала open bracket, a, ;, b, close bracket с n равни подразделения.
Определи delta, x: Нека start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 да показва start color #1fab54, start text, ш, и, р, о, ч, и, н, а, т, а, end text, end color #1fab54 на всеки правоъгълник, тогава start color #1fab54, delta, x, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, end color #1fab54.
Определи x, start subscript, i, end subscript: Нека start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd да показва дясната крайна точка на всеки правоъгълник, тогава start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd.
Определи площта на i, start superscript, start text, negative, т, и, я, end text, end superscript правоъгълник: start color #e07d10, start text, В, и, с, о, ч, и, н, а, т, а, end text, end color #e07d10 на всеки правоъгълник тогава е start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10, а площта на всеки правоъгълник е start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10.
Сумирай правоъгълниците: Сега използваме знака за сума, за да съберем всичките площи. Стойностите, които използваме за i, са различни за лява и дясна сума на Риман:
  • Когато записваме дясна сума на Риман, взимаме стойностите на i от 1 до n.
  • Обаче, когато записваме лява сума на Риман, взимаме стойностите на i от 0 до n, minus, 1 (те ще ни дадат стойността на f в лявата крайна точка на всеки правоъгълник).
Лява сума на РиманДясна сума на Риман
sum, start subscript, i, equals, 0, end subscript, start superscript, n, minus, 1, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10
Задача 1.а
  • Електричен ток
Упражнения 1 ще ни преведат през процеса на смятане с приближение на площта между f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, comma, 1, x, squared, plus, 1 и оста x в интервала open bracket, 2, ;, 7, close bracket, като използваме лява сума на Риман с 10 равни подразделения.
Дадена е графиката на функцията f. Оста х е разграфена от 1 до 9. Графиката представлява крива. Кривата започва от втори квадрант, спуска се надолу до относителен минимум в точка (0; 1), издига се нагоре и завършва в първи квадрант. Областта между кривата и оста х, между x = 2 и x = 7, е оцветена.
Каква е дължината start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 на всеки правоъгълник?
start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Задача 2
Искаме да намерим с приближение площта между g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 5, divided by, x, end fraction, plus, 2 и оста x в интервала open bracket, 1, ;, 7, close bracket, като използваме дясна сума на Риман с 9 равни подразделения:
Дадена е графиката на функцията g. Оста х е разграфена от 1 до 7. Графиката представлява крива. Кривата започва в първи квадрант, движи се надолу и завършва в първи квадрант. Областта между кривата и оста х, между x = 1 и x = 7, е оцветена. Оцветената област е разделена на 9 правоъгълника с еднаква широчина. Всеки правоъгълник докосва кривата с горния си десен ъгъл.
Кой израз представя нашето приближение?
Избери един отговор:

Искаш ли да се упражняваш още? Пробвай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.