Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 1
Урок 4: Риманови суми с означение за сума- Риманови суми с означение за сума
- Риманови суми с означение за сума
- Разработен пример: Риманови суми с означение за сума
- Риманови суми с означение за сума
- Средна сума на Риман и правило на трапеца със знак за сума
- Суми на Риман със знак сигма: задача с повишена трудност
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Риманови суми с означение за сума
Означението за сума може да бъде използвано за записване на Риманови суми по компактен начин. Предизвикателство е, но е и важна стъпка към формалната дефиниция на определения интеграл.
Записът на сума чрез главната гръцка буква сигма (Сигма запис) ни позволява да запишем дълги сборове с един кратък израз. Тъй като знакът за сума има много приложения в математика (и особено в математическия анализ), ще се фокусираме върху това как можем да го използваме при Римановите суми.
Пример за записване на сума на Риман със знак за сума
Представи си, че смятаме с приближение площта под графиката на f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, square root of, x, end square root между x, equals, 0, comma, 5 и x, equals, 3, comma, 5.
И да кажем, че решим да направим това, като запишем израза за дясна сума на Риман с четири равни подразделения, като използваме знака за сума.
Нека A, left parenthesis, i, right parenthesis да показва площта на i, start superscript, start text, negative, т, и, я, end text, end superscript правоъгълник в нашето приближение.
Цялата сума на Риман може да се запише по следния начин:
Сега трябва да намерим израза за A, left parenthesis, i, right parenthesis.
Широчината на целия интервал open bracket, 0, comma, 5, ;, 3, comma, 5, close bracket е 3 единици, като искаме 4 равни подразделения, затова start color #1fab54, start text, ш, и, р, о, ч, и, н, а, т, а, end text, end color #1fab54 на всеки правоъгълник ще е 3, colon, 4, equals, start color #1fab54, 0, comma, 75, end color #1fab54 деления.
start color #e07d10, start text, Ш, и, р, о, ч, и, н, а, т, а, end text, end color #e07d10 на всеки правоъгълник е стойността на f в дясната крайна точка на правоъгълника (защото това е дясна сума на Риман).
Нека start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd да показва дясната крайна точка на i, start superscript, start text, negative, т, и, я, end text, end superscript правоъгълник. За да намерим x, start subscript, i, end subscript за всяка стойност на i, започваме от x, equals, 0, comma, 5 (лявата крайна точка на интервала) и добавяме средната широчина start color #1fab54, 0, comma, 75, end color #1fab54 многократно.
Следователно формулата на start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd е start color #11accd, 0, comma, 5, plus, 0, comma, 75, i, end color #11accd. Сега start color #e07d10, start text, в, и, с, о, ч, и, н, а, т, а, end text, end color #e07d10 на всеки правоъгълник е стойността на f в крайната му дясна точка:
И така стигнахме до общия израз за площта на i, start superscript, start text, negative, т, и, я, end text, end superscript правоъгълник:
Сега ни остана само да сумираме този израз за стойностите на i от 1 до 4:
И сме готови!
Обобщаване на процеса по записване на сумата на Риман със знак за сума Сигма
Представи си, че искаме да сметнем с приближение площта под графиката на f в интервала open bracket, a, ;, b, close bracket с n равни подразделения.
Определи delta, x: Нека start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 да показва start color #1fab54, start text, ш, и, р, о, ч, и, н, а, т, а, end text, end color #1fab54 на всеки правоъгълник, тогава start color #1fab54, delta, x, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, end color #1fab54.
Определи x, start subscript, i, end subscript: Нека start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd да показва дясната крайна точка на всеки правоъгълник, тогава start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd.
Определи площта на i, start superscript, start text, negative, т, и, я, end text, end superscript правоъгълник: start color #e07d10, start text, В, и, с, о, ч, и, н, а, т, а, end text, end color #e07d10 на всеки правоъгълник тогава е start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10, а площта на всеки правоъгълник е start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10.
Сумирай правоъгълниците: Сега използваме знака за сума, за да съберем всичките площи. Стойностите, които използваме за i, са различни за лява и дясна сума на Риман:
- Когато записваме дясна сума на Риман, взимаме стойностите на i от 1 до n.
- Обаче, когато записваме лява сума на Риман, взимаме стойностите на i от 0 до n, minus, 1 (те ще ни дадат стойността на f в лявата крайна точка на всеки правоъгълник).
Лява сума на Риман | Дясна сума на Риман |
---|---|
sum, start subscript, i, equals, 0, end subscript, start superscript, n, minus, 1, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 | sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 |
Искаш ли да се упражняваш още? Пробвай това упражнение.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.