If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Интегрално смятане

Курс: Интегрално смятане > Раздел 1

Урок 4: Риманови суми с означение за сума
Математика
Интегрално смятане
Интеграли
Риманови суми с означение за сума
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Риманови суми с означение за сума

Класна стая на Google
Означението за сума може да бъде използвано за записване на Риманови суми по компактен начин. Предизвикателство е, но е и важна стъпка към формалната дефиниция на определения интеграл.
Записът на сума чрез главната гръцка буква сигма (Сигма запис) ни позволява да запишем дълги сборове с един кратък израз. Тъй като знакът за сума има много приложения в математика (и особено в математическия анализ), ще се фокусираме върху това как можем да го използваме при Римановите суми.

Пример за записване на сума на Риман със знак за сума

Представи си, че смятаме с приближение площта под графиката на f(x)=x между x=0,5 и x=3,5.
Дадена е графиката на функцията y =корен квадратен от x. Оста x е разграфена от 0 до 4. Графиката представлява крива. Кривата започва от (0; 0), движи се нагоре с вдлъбнатост и завършва в точка (4; 2). Областта между кривата и оста х между x = 0,5 и x = 3,5 е оцветена.
И да кажем, че решим да направим това, като запишем израза за дясна сума на Риман с четири равни подразделения, като използваме знака за сума.
На графиката на функцията y има оцветена област, разделена на 4 правоъгълника с широчина 0,75. Всеки правоъгълник докосва кривата с горния си десен ъгъл.
Нека A(i) да показва площта на i-тия правоъгълник в нашето приближение.
Площите на правоъгълниците са A1, A2, A3 и A4.
Цялата сума на Риман може да се запише по следния начин:
A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=∑i=14A(i)
Сега трябва да намерим израза за A(i).
Широчината на целия интервал [0,5;3,5] е 3 единици, като искаме 4 равни подразделения, затова широчината на всеки правоъгълник ще е 3:4=0,75 деления.
Широчината на всеки правоъгълник е стойността на f в дясната крайна точка на правоъгълника (защото това е дясна сума на Риман).
Нека xi да показва дясната крайна точка на i-тия правоъгълник. За да намерим xi за всяка стойност на i, започваме от x=0,5 (лявата крайна точка на интервала) и добавяме средната широчина 0,75 многократно.
Лявата страна на първия правоъгълник е при x = 0,5. Добавяме четири пъти 0,75, за да получим страните на правоъгълниците, от x 1 до x 4.
Следователно формулата на xi е 0,5+0,75i. Сега височината на всеки правоъгълник е стойността на f в крайната му дясна точка:
f(xi)=xi=0,5+0,75i
И така стигнахме до общия израз за площта на i-тия правоъгълник:
A(i)=широчина⋅височина=0,75⋅0,5+0,75i
Сега ни остана само да сумираме този израз за стойностите на i от 1 до 4:
=A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=∑i=14A(i)=∑i=140,75⋅0,5+0,75i
И сме готови!

Обобщаване на процеса по записване на сумата на Риман със знак за сума Сигма

Представи си, че искаме да сметнем с приближение площта под графиката на f в интервала [a;b] с n равни подразделения.
Определи Δx: Нека Δx да показва широчината на всеки правоъгълник, тогава Δx=b−an.
Определи xi: Нека xi да показва дясната крайна точка на всеки правоъгълник, тогава xi=a+Δx⋅i.
Определи площта на i-тия правоъгълник: Височината на всеки правоъгълник тогава е f(xi), а площта на всеки правоъгълник е Δx⋅f(xi).
Сумирай правоъгълниците: Сега използваме знака за сума, за да съберем всичките площи. Стойностите, които използваме за i, са различни за лява и дясна сума на Риман:
  • Когато записваме дясна сума на Риман, взимаме стойностите на i от 1 до n.
  • Обаче, когато записваме лява сума на Риман, взимаме стойностите на i от 0 до n−1 (те ще ни дадат стойността на f в лявата крайна точка на всеки правоъгълник).
Лява сума на РиманДясна сума на Риман
∑i=0n−1Δx⋅f(xi)∑i=1nΔx⋅f(xi)
Задача 1.а
Упражнения 1 ще ни преведат през процеса на смятане с приближение на площта между f(x)=0,1x2+1 и оста x в интервала [2;7], като използваме лява сума на Риман с 10 равни подразделения.
Дадена е графиката на функцията f. Оста х е разграфена от 1 до 9. Графиката представлява крива. Кривата започва от втори квадрант, спуска се надолу до относителен минимум в точка (0; 1), издига се нагоре и завършва в първи квадрант. Областта между кривата и оста х, между x = 2 и x = 7, е оцветена.
Каква е дължината Δx на всеки правоъгълник?
Δx=
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

Задача 2
Искаме да намерим с приближение площта между g(x)=5x+2 и оста x в интервала [1;7], като използваме дясна сума на Риман с 9 равни подразделения:
Дадена е графиката на функцията g. Оста х е разграфена от 1 до 7. Графиката представлява крива. Кривата започва в първи квадрант, движи се надолу и завършва в първи квадрант. Областта между кривата и оста х, между x = 1 и x = 7, е оцветена. Оцветената област е разделена на 9 правоъгълника с еднаква широчина. Всеки правоъгълник докосва кривата с горния си десен ъгъл.
Кой израз представя нашето приближение?
Избери един отговор:

Искаш ли да се упражняваш още? Пробвай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.