Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 1
Урок 4: Риманови суми с означение за сума- Риманови суми с означение за сума
- Риманови суми с означение за сума
- Разработен пример: Риманови суми с означение за сума
- Риманови суми с означение за сума
- Средна сума на Риман и правило на трапеца със знак за сума
- Суми на Риман със знак сигма: задача с повишена трудност
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Риманови суми с означение за сума
Означението за сума може да бъде използвано за записване на Риманови суми по компактен начин. Предизвикателство е, но е и важна стъпка към формалната дефиниция на определения интеграл.
Записът на сума чрез главната гръцка буква сигма (Сигма запис) ни позволява да запишем дълги сборове с един кратък израз. Тъй като знакът за сума има много приложения в математика (и особено в математическия анализ), ще се фокусираме върху това как можем да го използваме при Римановите суми.
Пример за записване на сума на Риман със знак за сума
Представи си, че смятаме с приближение площта под графиката на между и .
И да кажем, че решим да направим това, като запишем израза за дясна сума на Риман с четири равни подразделения, като използваме знака за сума.
Нека да показва площта на правоъгълник в нашето приближение.
Цялата сума на Риман може да се запише по следния начин:
Сега трябва да намерим израза за .
Широчината на целия интервал е единици, като искаме равни подразделения, затова на всеки правоъгълник ще е деления.
Нека да показва дясната крайна точка на правоъгълник. За да намерим за всяка стойност на , започваме от (лявата крайна точка на интервала) и добавяме средната широчина многократно.
Следователно формулата на е . Сега на всеки правоъгълник е стойността на в крайната му дясна точка:
И така стигнахме до общия израз за площта на правоъгълник:
Сега ни остана само да сумираме този израз за стойностите на от до :
И сме готови!
Обобщаване на процеса по записване на сумата на Риман със знак за сума Сигма
Представи си, че искаме да сметнем с приближение площта под графиката на в интервала с равни подразделения.
Определи : Нека да показва на всеки правоъгълник, тогава .
Определи : Нека да показва дясната крайна точка на всеки правоъгълник, тогава .
Определи площта на правоъгълник: на всеки правоъгълник тогава е , а площта на всеки правоъгълник е .
Сумирай правоъгълниците: Сега използваме знака за сума, за да съберем всичките площи. Стойностите, които използваме за , са различни за лява и дясна сума на Риман:
- Когато записваме дясна сума на Риман, взимаме стойностите на
от до . - Обаче, когато записваме лява сума на Риман, взимаме стойностите на
от до (те ще ни дадат стойността на в лявата крайна точка на всеки правоъгълник).
Лява сума на Риман | Дясна сума на Риман |
---|---|
Искаш ли да се упражняваш още? Пробвай това упражнение.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.