Риманови суми с означение за сума

В последния урок се опитахме да апроксимираме площта под крива, като построихме четири правоъгълника с еднаква широчина, и използвахме лявата граница на всеки правоъгълник, тоест стойността на функцията, изчислена в лявата граница, за да определим височината. По този начин намерихме приближението. В настоящия урок искам да обобщя малко нещата, като използвам същия метод, но го приложа за произволна функция с произволни граници, и произволен брой правоъгълници. Нека го направим. Ще направя чертеж, колкото мога по-голям, така че да мога да направя нещата колкото е възможно по-ясни. Това е оста у. А това тук е оста х. Нека начертая произволна функция. Нека да кажем, че функцията изглежда по следния начин. Това е у равно на f от х. Нека да дефинирам един интервал. Нека ето тук да бъде х равно на а. Това е х равно на а. А това тук да бъде х равно на b. Това е b. Ще използвам n на брой правоъгълници. Ще използвам и стойността на функцията, изчислена в лявата граница на всеки правоъгълник, за да определя височината му. Например това ще бъде правоъгълник едно. Ще изчисля на какво е равно f от а. Ще изчисля f от а. Това ето тук е равно f от а. Ще го използвам като височина на първия правоъгълник. Ето така. Правоъгълник номер едно изглежда по този начин. Дори ще го номерирам. Правоъгълник едно изглежда така. И просто, за да имаме означение тук – защото ще означа всяка една стойност на х в лявата граница – нека това а да е равно на х0. а е равно е на х0. Може да кажем, че тази точка тук е х0. Ето тази стойност на х. След това стигаме до следващия правоъгълник. Може да изберем тази стойност тук, т.е. тази х стойност, и да я наречем х1. Това е лявата граница на следващия правоъгълник. Ако изчислим f от х1, ще получим тази стойност тук. Това ето тук е f от х1 и ни дава височината. Искаме еднаква широчина като на предния правоъгълник. Ще помислим на какво ще бъде равна широчината след секунда. Това тук е вторият правоъгълник, който ще използваме, за да апроксимираме площта под кривата. Това е правоъгълник номер две. Нека построим правоъгълник номер три. Правоъгълник номер три, чиято лява граница просто ще изберем да е ето това х2. Височината му ще бъде равна на f от х2. f от х2. Широчината му ще бъде същата като тази на другите правоъгълници. Построявам го на око ето така. Това е правоъгълник номер три. Правоъгълник номер три. Продължаваме този процес през цялото време, докато не достигнем до правоъгълник номер n. Следователно това ето тук е n-ят правоъгълник. Ето тук е n-ят правоъгълник. Тогава как ще означа тази точка ето тук? Вече видяхме образец. Лявата граница на този първи правоъгълник е х0. Лявата граница на втория правоъгълник е х1. Лявата граница на третия правоъгълник е х2. Тогава лявата граница на n-я правоъгълник ще бъде х с долен индекс n - 1. Какъвто и да е поредният номер на правоъгълника, лявата граница е x с долен индекс съответния номер минус 1. Това е базирано на модела, който определихме за означението. А сега следващото нещо, което трябва да направим, за да изчислим действително площта, е да помислим, на какво е равна широчината. Нека да изберем широчината на всеки един от тези правоъгълници. За целите на настоящия урок ще приема, че е равна на константа, въпреки че може да се образува сумата от лицата на правоъгълниците, като избереш различна широчина за всеки от тях. Тогава става малко по-трудно. Искам равни широчини. Искам делта х да бъде еднаква широчина. И за да определим каква трябва да бъде, просто следва да намерим пълното разстояние, т.е. интервала, който покриваме. Пълното разстояние тук ще бъде равно на b минус а. Сега просто ще го разделим на броя правоъгълници, които искаме, тоест на броя на участъците, които искаме. Следователно искаме да го разделим на n. Ако приемем, че това е вярно и приемем, че това а е равно на х0, то след това х1 е равно на х0 плюс делта х, х2 е равно на х1 плюс делта х. И така, докато не достигнем до: х n равно на х (n - 1) плюс делта х. Тогава всъщност получаваме този чертеж тук. Действително b ще бъде равно на x с индекс n. Ето това е x с индекс n. b е равно на x n - 1 плюс делта х. Сега мисля, че дефинирахме всички означения и шаблони, за да можем действително да изчислим площта, тоест да апроксимираме площта. Следователно на какво ще бъде равно нашето приближение? Ще бъде равно на лицето на първия правоъгълник... Нека да го запиша. Ще бъде равно на правоъгълник едно, лицето на правоъгълник номер едно, плюс лицето на правоъгълник номер две, плюс лицето на правоъгълник номер три. Предполагам, че разбираш идеята тук. Събираме лицата на всички правоъгълници до номер n. А на какво ще бъдат равни тези лица? Лицето на правоъгълник едно ще бъде височината му, която е f от х0, или f от а... Както и да го запишем, x0 и а са едно и също нещо. Следователно е равно на f от а, умножено по делта х. Тоест умножено по определената широчина. Височината по широчината. Умножено по делта х. Всъщност мога да го запиша като f от х0, но действително исках да го запиша като f от х0, умножено по делта х. На какво е равно лицето на правоъгълник номер две? На f от х1, умножено по делта х. f от х1, умножено по делта х. На какво е равно лицето на правоъгълник номер три? На f от х2, умножено по делта х. Продължаваме така, докато не покрием цялата площ. Събираме лицата на всички правоъгълници докато не достигнем до правоъгълник номер n. А какво е неговото лице? На f от х n - 1... Всъщност това е различно оранжево. Ще използвам същото оранжево. Равно е на f от х n - 1, умножено по делта х. И сме готови! Записахме го в много обобщен вид. Искаме обаче да се чувстваме уверено с различни видове означения. Особено с означенията, които можеш да видиш, когато хората говорят за приближение на лица или суми като цяло. Затова ще използвам традиционното означение сигма. Този израз, записан по друг начин, тоест като сума, е равен на сума от следното. И запомни, че това просто се базира на образеца за означение, който избрах. Нека i e номерът на съответния правоъгълник, от i равно на 1 до n. А сега ще погледнем всеки правоъгълник. Имаме първия правоъгълник. Това е правоъгълник номер едно. Ще имаме f от...Е, тук се намираме в i-я номер правоъгълник, а тогава лявата граница ще бъде равна f от х с индекс i - 1. Умножаваме по делта х. Записано по този начин, разполагаме с обобщен вид на идеята за апроксимиране на площ под крива, като използваме правоъгълници, като височините на правоъгълниците са дефинирани чрез лявата граница. Този индекс ни показва, че това е лявата граница. И виждаме, че ако това тук е i-ят правоъгълник, тоест ако това е правоъгълник номер i, то тогава това тук е x с индекс i - 1, а тази височина тук, е f от x с индекс i - 1. Ето това е всичко, което направихме тук. След това умножаваме по делта х. След това сумираме всички тези площи, като започнем от първия правоъгълник и продължим до последния. Надявам се, че това ти дава малко повече увереност за това означение. Не правим нещо по-различно от това, което направихме в първия урок. Надявам се, че е било сравнително просто и разбираемо за теб. Току-що го обобщихме като използвахме математическо означение.