If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:7:07

Разработен пример: Риманови суми с означение за сума

Видео транскрипция

В настоящия урок искам да се упражняваме в апроксимирането на площ под крива, а също така и да задълбочим разбирането си за означението сигма в този контекст. Тук имаме дадена графиката на f от х равно на 1 плюс 0,1 по х на квадрат. Това е тази крива тук. А след това имаме тези правоъгълници, чрез които се опитваме да апроксимираме площта под кривата, т.е. площта под функцията f, в интервала от х равно на 0 до х равно на 8. Начинът, по който е даден чертежът, или начинът, по който ще се опитаме да го направим, е като разделим интервала на четири правоъгълника. Може да означим този правоъгълник с 1, този правоъгълник с 2, правоъгълник 3, а този с 4. Всяка от височините им... Нека да разгледаме интервала. Изглежда, че всеки от тях има широчина 2 единици. Следователно са през еднакви разстояния, като тръгваме от 0 до 8, и ги разделяме на четири участъка, като всеки от тях е широк 2 единици. Всеки от тях е широк 2 единици. Това е две, това е две, това е две и това е две единици. Височините им изглежда, че са изчислени за средната точка. Между старта, т.е. между лявата страна и дясната страна на правоъгълника. Вземаме стойността на функцията в средата на участъка ето тук. Например ето тази височина тук изглежда, че е равна на f от 1. Тази височина тук изглежда, че е равна на f от 3. Височината на този правоъгълник е равна на f от 5. Височината ето тук е равна на f от 7. Като вземем предвид начина, по който правоъгълниците са построени, и това, че искаме да намерим сумата от лицата им като приближение на площта под кривата, как ще представим това с означението сигма? Ще започна да записвам, а след това те насърчавам да спреш видеото и да се опиташ да го довършиш. Сумата от тези правоъгълници може да кажем, че представлява следното. Ще имаме n е равно на 4, защото имаме четири правоъгълника. Насърчавам те да довършиш задачата. Просто изрази сумата, чрез функцията, а като използваш означението за функция не се налага да я записваш като 1 плюс 0,1 по нещо на квадрат. Добре, предполагам, че това вече е направено. За всеки от правоъгълниците...За първия правоъгълник ето тук ще умножим 2 по височината му. Височината тук е равна на 1, а това е първият правоъгълник, така че може би се изкушаваш да запишеш умножено по f от n. Това обаче не е валидно още щом стигнем до втория правоъгълник. За втория правоъгълник двойката все още е валидна. Тази двойка е широчината на правоъгълника, но сега искаме да я умножим по f от 3. Не по f от 2. Следователно това f от n не отговаря на вярното число х. Нека да видим как може да го представим. Когато n е равно на 1, 2, 3, 4 следва да търсим f от... f от n, но не трябва да е f от n. Ще търсим f от нещо друго. Ето тук за първия правоъгълник ще търсим f от 1. След това за втория правоъгълник ще търсим f от 3 за височината. За третия правоъгълник ще търсим f от 5, а за четвъртия правоъгълник ще търсим f от 7. Тогава каква е връзката между тях? Нека да видим. Изглежда, че ако умножиш по 2 и извадиш 1, т.е. тук е 2 по 1, минус 1, е равно на 1. 2 по 2 минус 1 е равно на 3. 2 по 3 минус 1 е равно на 5. 2 по 4 минус 1 е равно на 7. Следователно това е равно на 2 по n минус 1. За лицето на всеки един от тези правоъгълници основата е равна на 2, а височината е равна на f от 2 по n минус 1. Надявам се, че това прави нещата малко по-ясни. Като връзка между означението сигма и това, което действително правим. Нека сега, просто за удоволствие, наистина да се опитаме да изчислим тази сума. На какво ще бъде равен този израз? Това ще бъде равно на 2 по f от следното. Когато n е равно на 1, това е 1, т.е. f от 1, плюс 2 по...Когато n е равно на 2, това ще бъде f от 2 по 2 минус 1, т.е. f от 3. Когато n е равно на 3, то това ще бъде равно на 2 по f от 5. А когато е n е равно на 4, то това ще бъде равно на 2 по f от 7. 4 по 2 минус 1 е равно на 7, т.е. f от 7. И това ще бъде равно на следното. Ще трябва да изчислим един куп от тези неща тук. Нека да изтрия това, за да имам малко повече място. Усещам, че сега изчисленията може малко да се объркат. Това ще бъде равно на...Всъщност можем да изнесем 2 пред скоби. Тогава това ще бъде равно на 2 по f от 1, което е 1 плюс 0,1 по 1 на квадрат. Имаме 1 плюс 0,1. Нека да го запиша с някакъв цвят, така че да може да следим по-добре какво се случва. Това ето тук е 1,1. Или 1 плюс 0,1 е равно на 1,1. Това ето тук е f от 3, т.е. имаме 1 плюс 0,1 по 3 на квадрат или 9. Тогава имаме 1 плюс 0,9, което е равно на 1,9. Нека сега да видим. Този член ето тук е f от 5. Ще бъде равен на 1 плюс...5 на квадрат е 25, умножено по 0,1 е равно на 2,5. Следователно 1 плюс 2,5 ни дава 3,5. Накрая имаме f от 7, което ще бъде 1 плюс 0,1 по 7 на квадрат. Това е 49 по 0,1 – което е 4,9 – плюс 1, т.е. плюс 5,9. И на какво ще бъде равно това? Нека да видим. Имаме 1,1 плюс 1,9, т.е. сумата от тези две числа е равна на 3. След това сумата на тези две ще бъде равна на следното. Нека да видим. Ако прибавим 5, то получаваме 8,5, а след това прибавим 0,9 и получаваме 9,4, т.е. плюс 9,4. Правилно ли го пресметнах? 3 плюс 5 е равно на 8. 0,5 плюс 0,9 е равно на 1,4. Да, вярно е! И това ще бъде равно на... Отново напомням, че имаме да умножим всичко по 2. Тогава този израз ще бъде равен на 2 по 12,4, което е равно на 24,8. Това е резултатът за приближението. Отново напомням, че това е само приближение на площта под кривата чрез използване на тези правоъгълници в интервала от х равно на 0 до х равно на 8.