Средна сума на Риман и правило на трапеца със знак за сума

В последните няколко урока апроксимирахме площ под крива, като използвахме правоъгълници, където височината на всеки правоъгълник беше дефинирана, чрез функцията, изчислена за лявата граница. Това ще бъде първият правоъгълник. След това вторият правоъгълник ще изглежда по следния начин. И така, докато не достигнем до n-ят правоъгълник, който би изглеждал по следния начин. Това е първият правоъгълник, това е вторият правоъгълник и продължаваме така през цялото време, до n-я правоъгълник. Видяхме, че начинът, по който ще сумираме всички тези правоъгълници, за да апроксимираме площта под кривата, е да намерим сумата за i равно от 1 до n. Всъщност i е поредният номер на правоъгълника, където се намираме. И това, което ще направим, е да умножим височината по основата. Вземаме височината на всеки правоъгълник. Височината на правоъгълник 1 в този случай е равна на функцията, изчислена за х0. Височината на правоъгълник 2 е равна на функцията, изчислена за х1. Височината на правоъгълник n e равна на функцията, изчислена за х с индекс n - 1. Следователно височината на кой да е правоъгълник i ще бъде равна на функцията, изчислена за х с индекс i – 1. Ако i е равно на 2, то изчисляваме функцията за х1. Ако i e равно на 2, то това е равно на функцията, изчислена за х1. Това са левите граници. След това трябва да умножим височината по широчината. И в последните няколко урока, и в настоящия урок, приемаме, че широчината на всички правоъгълници е еднаква. Ще означим тази еднаква широчина с делта х. За да я намерим, просто следва да вземем пълното разстояние, което изминаваме по направление на х. Тогава ще се получи b минус а, разделено на броя на правоъгълниците, на които разбиваме този интервал. Следователно в израза за сума ще запишем умножено по делта х. Можеш да си представиш, че това не е единственият начин, за да намерим сумата, като използваме правоъгълници. Или това не е единственият начин да намерим сумата, или да апроксимираме площта, чрез някаква геометрична форма. Например, може да създадем правоъгълници, където височината е дефинирана чрез дясната граница. Нека го направим. Това е първият правоъгълник. Това е първият правоъгълник. Дефинираме височината чрез дясната граница на правоъгълника. Дясната граница на правоъгълника. Това ето тук е правоъгълник 1 и височината му f от х1. f от х1. След това за първия ето тук вземаме дясната граница. Дясната граница дефинира тази височина. Ако изминем целия път до...Това е правоъгълник 2. Продължаваме така до n-я, като използваме дясната граница, за да дефинираме височината на правоъгълника. Сега, ако това е n-ят правоъгълник, то как ще запишем тази сума? Ще бъде сумата, която... припомни си, просто се опитваме да апроксимираме площта под кривата – от i е равно на 1 до n. i е поредният номер на всеки от правоъгълниците. Тогава височината на първия правоъгълник е f от х1. Височината на n-я правоъгълник е f от х n. Тази височина ето тук е f от х n. Височината на i-я правоъгълник ще бъде f от х с индекс i. Какъвто и да е номерът на правоъгълника, търсим х с индекс същия този номер, и изчисляваме функцията за тази стойност. Това ни дава височината. И умножаваме това по делта х. Разликата между това и това тук, е, че за i-я правоъгълник използваме х с индекс i минус 1, което е лявата граница. А тук използваме дясната граница f от х с индекс i. Не е необходимо да спираме тук. Вместо това може да използваме средната точка между двете граници. Например, ето тук може да използваме средната точка между х0 и х1, за да намерим височината на правоъгълника. Това е ето това тук. Това е f от (х0 плюс х1) върху 2, което е просто средната точка между тези двете точки, за да дефинираме височината на правоъгълника. Следователно ще изглежда като нещо такова. А за следващия правоъгълник гледаме средната точка, за да дефинираме височината. И така през целия интервал, докато не достигнем до n-я правоъгълник. И дефинираме средната точка между двете страни на правоъгълника. Функцията, която е изчислена за тази точка, ни казва колко следва да е висок този правоъгълник. Колко следва да е висок този правоъгълник. И ще изглежда като нещо такова. Тогава как ще изглежда тази сума? Отново напомням, че броим всеки един от правоъгълниците, така че имаме i е равно на 1 до i равно на n. i показва върху кой правоъгълник работим. Ето този е първият. Този е вторият, а този е n-ят. А височината няма да бъде просто f, изчислено за х с долен индекс i минус 1 или f, изчислено за х с индекс i. Ще бъде функцията, изчислена в средната точка между двете, т.е. х i - 1 плюс x i, цялото върху 2, и след това, умножено по делта х. Делта х е една и съща стойност във всичките тези случаи. Накрая, нека да се опитаме да променим подхода за апроксимиране само с правоъгълници и да бъдем малко по-креативни. Защо не се опитаме да апроксимираме площта с трапеци? Нека го направим. Това, което може да построим тук, е лявата част на трапец. Височината е f от х0. Това е f от х0. След това дясната страна на трапеца е f от х1. f от х1. Тогава това ето тук ще бъде...Нека да го направя за всички фигури. Това ще бъде първият трапец. След това вторият трапец ще изглежда ето така. Този изглежда почти като правоъгълник, но предполагаме, че горната му основа не е съвсем плоска. След това продължаваме така, докато не достигнем до n-я трапец. Трябва да е ясно, че използваме трапец. И така през целия интервал до n-я, който изглежда ето така. А как ще изчислим тази площ, т.е. площта на един трапец? Просто си спомни, че лицето на трапец е средната стойност от сбора на двете височини т.е. от страничните граници, умножена по основата. Нека да го запиша за настоящия случай. Площта ето тук ще бъде средната стойност от височините... Следователно ще бъде f от х0 плюс f от х1, цялото върху 2. След това ще умножим това по делта х. Това ще бъде площта само на този трапец тук. Намираме средната стойност на двете височини и я умножаваме по основите. Ако искахме да намерим сумата от площите на всички трапеци, и искахме да я запишем в общ вид, може просто да я запишем като сума. Отново ще броим трапеците. Това е първият трапец, а това е вторият, и така през целия интервал, докато стигнем до n-я. Имаме от i е равно на 1 до i е равно на n. За височината на всеки трапец използваме стойността на функцията, изчислена за лявата граница х i – 1, или средната стойност на функцията в лявата граница и функцията, изчислена в дясната граница. Търсим средната стойност на този сбор и я умножаваме по основата. Причината да искам да ти покажа това е, че има много начини да се изчисли тази сума. Можеш да използваш много общ подход и дори да имаш различни широчини. Но тогава може да стане малко объркващо. Наистина обаче исках да ти го покажа, защото може да срещнеш това странно означение в учебника си по анализ, или в този от предварителния курс по анализ. Но всичко се свежда до сумиране на лица на трапеци и правоъгълници, в зависимост от това, дали използват десните граници на правоъгълника, за да дефинират височината, или левите граници, или средната точка, или левите и десните граници. А може дори да построят и трапеци.