Основно съдържание

Интегрално смятане

Курс: Интегрално смятане > Раздел 1

Урок 2: Приблизително решение със суми на Риман

Леви и десни риманови суми

Класна стая на Google

Площ под крива може да се оцени с помощта на правоъгълници. Такива приблизителни оценки се наричат Риманови суми.

Да предположим, че искаме да намерим площта под тази крива:

Може да е много трудно да намерим точната площ, но можем да я апроксимираме, като използваме правоъгълници.

И това приближение би станало по-добро, ако използваме повече правоъгълници.

Този вид приближения се наричат Риманови суми и те са основен инструмент в интегралното смятане. Нашата цел засега е да разберем два вида Риманови суми - леви Риманови суми и десни Риманови суми.

Леви и десни Риманови суми

За да получим Риманова сума, трябва да решим как ще построим правоъгълниците. Един възможен вариант е правоъгълниците да допират кривата с горните си леви ъгли. Това се нарича лява Риманова сума.

Друг възможен избор е правоъгълниците да допират кривата с горните си десни ъгли. Това се нарича дясна Риманова сума.

Нито един от тези варианти не е по-добър от другия.

Задача 1

Какъв вид Риманова сума е илюстрирана на диаграмата?

Подразделения/части на сумата на Риман

"Подразделения" или "части" са термини, които често се споменават при работата със сумите на Риман. Те се отнасят до броя на частите, на които сме разделили интервала по

x

, за да получим правоъгълниците. Просто казано, броят подразделения (или части) е броят на правоъгълниците, които използваме.

Подразделенията могат да бъдат еднородни, което означава, че са с еднаква дължина, или нееднородни.

Еднородни подразделения	Нееднородни подразделения
Оцветеният участък под кривата е разделен на три правоъгълника с еднаква широчина. Всеки правоъгълник се издига нагоре от оста х и достига до кривата, като се опира до нея с горния си ляв ъгъл.	Оцветеният участък под кривата е разделен на три правоъгълника с различна широчина. Всеки правоъгълник се издига нагоре от оста х и достига до кривата, като се опира до нея с горния си ляв ъгъл.

Задача 2

Кое е вярното описание на подразделенията в тази сума на Риман.

(Избор А)
Пет еднородни подразделения
(Избор Б)
Пет нееднородни подразделения
(Избор В)
Шест еднородни подразделения
(Избор Г)
Шест нееднородни подразделения

Задачи върху суми на Риман с графики

Представи си, че трябва да пресметнем с приближение площта между

y = g (x)

и оста

x

от

x = 2

до

x = 6

И да кажем, че изберем да използваме лява сума на Риман с четири еднородни подразделения.

Забележи: Всеки правоъгълник докосва кривата с горния си ляв ъгъл, защото използваме лява сума на Риман.

След събиране на площите на правоъгълниците, получаваме

20

единици

^{2}

, което е приблизителната площ под кривата.

[Покажи решението]

Задача 3

Пресметни с приближение площта между $y = h (x)$ ‍ и оста $x$ ‍ от $x = - 2$ ‍ до $x = 4$ ‍, като използваш дясна сума на Риман с три равни подразделения.

Нека сега решим няколко задачи с приближение без помощта на графики.

Представи си, че трябва да пресметнем с приближение площта между оста

x

и графиката на

f

от

x = 1

до

x = 10

, използвайки дясна сума на Риман с три равни подразделения. За да направим това, ни е дадена таблица със стойности на

f


$x$ ‍	$1$ ‍	$4$ ‍	$7$ ‍	$10$ ‍
$f (x)$ ‍	$6$ ‍	$8$ ‍	$3$ ‍	$5$ ‍

Добра първа стъпка е да намерим широчината на всяко подразделение. Широчината на цялата площ, която искаме да пресметнем, е

10 - 1 = 9

единици. Ако използваме три равни подразделения, тогава широчината на всеки правоъгълник ще е

9 : 3 = 3

От тук трябва да намерим широчината на всеки правоъгълник. Първият ни правоъгълник лежи в интервала

[1; 4]

. Тъй като използваме дясна сума на Риман, горният десен връх на правоъгълника трябва да е на кривата, където

x = 4

, следователно стойността на

y

ще е

f (4) = 8

По подобен начин можем да разберем, че вторият правоъгълник, който лежи в интервала

[4; 7]

, има горен десен връх в

f (7) = 3

Нашият трети (и последен) правоъгълник има горен десен връх в

f (10) = 5

Сега остана само да направим сметките.

	Първи правоъгълник	Втори правоъгълник	Трети правоъгълник
Широчина	$3$ ‍	$3$ ‍	$3$ ‍
Височина	$8$ ‍	$3$ ‍	$5$ ‍
Площ	$3 \cdot 8 = 24$ ‍	$3 \cdot 3 = 9$ ‍	$3 \cdot 5 = 15$ ‍

После, след като намерим индивидуалните площ, ще ги съберем, за да получим нашето приближение:

48

единици

^{2}

Задача 4

Сметни с приближение площта между оста $x$ ‍ и $y = g (x)$ ‍ от $x = 10$ ‍ до $x = 16$ ‍, като използваш лява сума на Риман с три равни подразделения.


$x$ ‍	$10$ ‍	$12$ ‍	$14$ ‍	$16$ ‍
$g (x)$ ‍	$5$ ‍	$1$ ‍	$7$ ‍	$7$ ‍

Приближената площ е

мерни единици

^{2}

Сега си представи, че трябва да сметнем с приближение площта между оста

x

и графиката на

f (x) = 2^{x}

от

x = - 3

до

x = 3

, като използваме дясна сума на Риман с три равни подразделения.

Целият интервал

[- 3; 3]

е широк

6

единици, следователно всеки от трите правоъгълника трябва да е широк

6 : 3 = 2

единици.

Първият правоъгълник лежи в интервала

[- 3; - 1]

, следователно височината му е

f (- 1) = 2^{- 1} = 0, 5

. Аналогично височината на втория правоъгълник е

f (1) = 2^{1} = 2

, а височината на третия правоъгълник е

f (3) = 2^{3} = 8

[Покажи ми как изглежда това графично.]

	Първи правоъгълник	Втори правоъгълник	Трети правоъгълник
Ширина	$2$ ‍	$2$ ‍	$2$ ‍
Височина	$0, 5$ ‍	$2$ ‍	$8$ ‍
Площ	$2 \cdot 0, 5 = 1$ ‍	$2 \cdot 2 = 4$ ‍	$2 \cdot 8 = 16$ ‍

Следователно нашето приближение е

21

единици

^{2}

Задача 5

Сметни с приближение площта между оста $x$ ‍ и графиката на функцията $h (x) = \frac{3}{x}$ ‍ от $x = 0$ ‍ до $x = 1, 5$ ‍, като използваш дясна сума на Риман с $3$ ‍ равни подразделения.

Приближената площ е

мерни единици

^{2}

Искаш ли още да се упражняваш? Пробвай това упражнение.

Сумите на Риман понякога завишават резултата, а в други случаи го занижават

Сумите на Риман дават приближения за площта под една крива, затова те почти винаги ще са малко над реалната площ (завишаване) или малко под реалната площ (занижаване).

Задача 6

Тази сума на Риман завишена или занижена стойност на реалната площ е?

Задача 7

Нека разгледаме лявата и дясната сума на Риман, които биха дали с приближение площта под

y = g (x)

между

x = 2

x = 8

Приближенията завишение ли са, или занижение? Попълни празните полета.

Лявата сума на Риман изцяло ще бъде

кривата, следователно стойността ѝ ще бъде

Дясната сума на Риман ще бъде изцяло

кривата, следователно стойността ѝ ще бъде

Задача 8

Начертана е непрекъснатата функция

g

Интересуваме се от площта под кривата между

x = - 7

x = 7

и обмисляме да използваме сумите на Риман, за да я пресметнем с приближение.

Подреди площите от най-малка (най-отгоре) до най-малка (най-отдолу).

Задача 9

Тази таблица ни показва избрани стойности за непрекъснатата и растяща функция

g

$x$ ‍	$- 2$ ‍	$3$ ‍	$8$ ‍	$13$ ‍	$18$ ‍
$g (x)$ ‍	$13$ ‍	$19$ ‍	$28$ ‍	$31$ ‍	$41$ ‍

Интересуваме се площта под кривата между

x = - 2

x = 18

и обмисляме да използваме лява и дясна сума на Риман, всяка с четири равни подразделения, за да сметнем с приближение площта.

Подреди площите от най-малка (най-отгоре) до най-малка (най-отдолу).

Искаш ли още да се упражняваш? Пробвай това упражнение.

Забележи: Дали една сума на Риман ще даде завишен, или занижен резултат, зависи от това дали функцията е растяща, или е намаляваща в интервала, и дали използваме лява, или дясна сума на Риман.

Ключови моменти за запомняне

Пресмятане на площ под крива с приближение с правоъгълници

Първото нещо, което трябва да си помислиш, като чуеш димите "сума на Риман", е, че се използват правоъгълници, за да се сметне с приближение площта под една крива. В ума ти трябва да си представиш нещо като това:

По-добро приближение се постига с разделяне на повече части

Като цяло, колкото повече подразделения (т.е. правоъгълници) използваме, за да сметнем с приближение площта, толкова по-добро ще е приближението.

Сравнение на лява и дясна сума на Риман

Опитай се да не ги бъркаш. Лявата сума на Риман използва правоъгълници, чиито горни леви върхове са на кривата. А дясната сума на Риман използва правоъгълници, чиито горни десни върхове са на кривата.

Лява сума на Риман	Дясна сума на Риман
На графиката на функцията под кривата има област, която е разделена на 4 правоъгълника с еднаква широчина, които докосват кривата с горните си леви ъгли.	На графиката на функцията под кривата има област, която е разделена на 4 правоъгълника с еднаква широчина, които докосват кривата с горните си десни ъгли.

Завишаване или занижаване

Когато използваме суми на Риман, понякога получаваме завишена стойност, а понякога занижена. Добре да е можем да преценяваме дали конкретна сума на Риман е завишена, или е занижена.

Като цяло, ако функцията непрекъснато расте или непрекъснато намалява в даден интервал, можем да кажем дали сумата на Риман дава завишен или занижен резултат въз основа на това дали тя е лява, или е дясна сума на Риман.

Посока	Лява сума на Риман	Дясна сума на Риман
Растяща	Занижена	Завишена
Намаляваща	Завишена	Занижена

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.