If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Леви и десни риманови суми

Площ под крива може да се оцени с помощта на правоъгълници. Такива приблизителни оценки се наричат Риманови суми.
Да предположим, че искаме да намерим площта под тази крива:
Дадена е графиката на една функция. Оста х не е номерирана. Графиката представлява крива. Кривата започва от положителната част на оста у, движи се нагоре и завършва в квадрант 1. Участък между кривата и осите е оцветен.
Може да е много трудно да намерим точната площ, но можем да я апроксимираме, като използваме правоъгълници.
Оцветеният участък под кривата е разделен на четири правоъгълника с еднаква широчина. Всеки правоъгълник се издига нагоре от оста х и достига до кривата, като се опира до нея с горния си ляв ъгъл.
И това приближение би станало по-добро, ако използваме повече правоъгълници.
Оцветеният участък под кривата е разделен на 8 правоъгълника с еднаква широчина.
Оцветеният участък под кривата е разделен на 16 правоъгълника с еднаква широчина.
Този вид приближения се наричат Риманови суми и те са основен инструмент в интегралното смятане. Нашата цел засега е да разберем два вида Риманови суми - леви Риманови суми и десни Риманови суми.

Леви и десни Риманови суми

За да получим Риманова сума, трябва да решим как ще построим правоъгълниците. Един възможен вариант е правоъгълниците да допират кривата с горните си леви ъгли. Това се нарича лява Риманова сума.
Оцветеният участък под кривата е разделен на четири правоъгълника с еднаква широчина. Всеки правоъгълник се издига нагоре от оста х и достига до кривата, като се опира до нея с горния си ляв ъгъл. Следователно всички правоъгълници са под кривата.
Друг възможен избор е правоъгълниците да допират кривата с горните си десни ъгли. Това се нарича дясна Риманова сума.
Оцветеният участък под кривата е разделен на четири правоъгълника с еднаква широчина. Всеки правоъгълник се издига нагоре от оста х и се опира до кривата с горния си десен ъгъл. Следователно всички правоъгълници се издигат над кривата.
Нито един от тези варианти не е по-добър от другия.
Задача 1
Какъв вид Риманова сума е илюстрирана на диаграмата?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Подразделения/части на сумата на Риман

"Подразделения" или "части" са термини, които често се споменават при работата със сумите на Риман. Те се отнасят до броя на частите, на които сме разделили интервала по x, за да получим правоъгълниците. Просто казано, броят подразделения (или части) е броят на правоъгълниците, които използваме.
Подразделенията могат да бъдат еднородни, което означава, че са с еднаква дължина, или нееднородни.
Еднородни подразделенияНееднородни подразделения
Оцветеният участък под кривата е разделен на три правоъгълника с еднаква широчина. Всеки правоъгълник се издига нагоре от оста х и достига до кривата, като се опира до нея с горния си ляв ъгъл.
Оцветеният участък под кривата е разделен на три правоъгълника с различна широчина. Всеки правоъгълник се издига нагоре от оста х и достига до кривата, като се опира до нея с горния си ляв ъгъл.
Задача 2
Кое е вярното описание на подразделенията в тази сума на Риман.
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Задачи върху суми на Риман с графики

Представи си, че трябва да пресметнем с приближение площта между y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis и оста x от x, equals, 2 до x, equals, 6.
Дадена е графиката на функцията g. Оста х е номерирана от 0 до 9. Графиката представлява равномерна крива. Кривата започва от квадрант 4, движи се нагоре и достига относителен максимум в точка (3; 7), слиза надолу до относителен минимум около точка (4.,4; 3,5), издига се отново нагоре и завършва в квадрант 1. Областта между кривата и оста х е оцветена между x = 2 и x = 6.
И да кажем, че изберем да използваме лява сума на Риман с четири еднородни подразделения.
На графиката на функцията g има оцветена област, която е разделена на 4 правоъгълника, всеки от които има широчина 1. Всеки правоъгълник докосва кривата с горния си ляв ъгъл. Ъглите са в точките (2; 3), (3; 7), (4; 6) и (5; 4).
Забележи: Всеки правоъгълник докосва кривата с горния си ляв ъгъл, защото използваме лява сума на Риман.
След събиране на площите на правоъгълниците, получаваме 20 единициsquared, което е приблизителната площ под кривата.
Задача 3
Пресметни с приближение площта между y, equals, h, left parenthesis, x, right parenthesis и оста x от x, equals, minus, 2 до x, equals, 4, като използваш дясна сума на Риман с три равни подразделения.
Графиката на функцията h минава през точката [-2; 0], точката [0; 4], точката [2; 6] и точката [4; 4].
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Нека сега решим няколко задачи с приближение без помощта на графики.

Представи си, че трябва да пресметнем с приближение площта между оста x и графиката на f от x, equals, 1 до x, equals, 10, използвайки дясна сума на Риман с три равни подразделения. За да направим това, ни е дадена таблица със стойности на f.
x14710
f, left parenthesis, x, right parenthesis6835
Добра първа стъпка е да намерим широчината на всяко подразделение. Широчината на цялата площ, която искаме да пресметнем, е 10, minus, 1, equals, 9 единици. Ако използваме три равни подразделения, тогава широчината на всеки правоъгълник ще е 9, colon, 3, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd.
От тук трябва да намерим широчината на всеки правоъгълник. Първият ни правоъгълник лежи в интервала open bracket, 1, ;, 4, close bracket. Тъй като използваме дясна сума на Риман, горният десен връх на правоъгълника трябва да е на кривата, където x, equals, 4, следователно стойността на y ще е f, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10.
По подобен начин можем да разберем, че вторият правоъгълник, който лежи в интервала open bracket, 4, ;, 7, close bracket, има горен десен връх в f, left parenthesis, 7, right parenthesis, equals, start color #7854ab, 3, end color #7854ab.
Нашият трети (и последен) правоъгълник има горен десен връх в f, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals, start color #ca337c, 5, end color #ca337c.
Сега остана само да направим сметките.
Първи правоъгълникВтори правоъгълникТрети правоъгълник
Широчинаstart color #11accd, 3, end color #11accdstart color #11accd, 3, end color #11accdstart color #11accd, 3, end color #11accd
Височинаstart color #e07d10, 8, end color #e07d10start color #7854ab, 3, end color #7854abstart color #ca337c, 5, end color #ca337c
Площstart color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, equals, 24start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #7854ab, 3, end color #7854ab, equals, 9start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #ca337c, 5, end color #ca337c, equals, 15
После, след като намерим индивидуалните площ, ще ги съберем, за да получим нашето приближение: 48 единициsquared.
Задача 4
Сметни с приближение площта между оста x и y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis от x, equals, 10 до x, equals, 16, като използваш лява сума на Риман с три равни подразделения.
x10121416
g, left parenthesis, x, right parenthesis5177
Приближената площ е
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
мерни единициsquared.

Сега си представи, че трябва да сметнем с приближение площта между оста x и графиката на f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, start superscript, x, end superscript от x, equals, minus, 3 до x, equals, 3, като използваме дясна сума на Риман с три равни подразделения.
Целият интервал open bracket, minus, 3, ;, 3, close bracket е широк 6 единици, следователно всеки от трите правоъгълника трябва да е широк 6, colon, 3, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd единици.
Първият правоъгълник лежи в интервала open bracket, minus, 3, ;, minus, 1, close bracket, следователно височината му е f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 2, start superscript, minus, 1, end superscript, equals, start color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10. Аналогично височината на втория правоъгълник е f, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 2, start superscript, 1, end superscript, equals, start color #7854ab, 2, end color #7854ab, а височината на третия правоъгълник е f, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 2, cubed, equals, start color #ca337c, 8, end color #ca337c.
Първи правоъгълникВтори правоъгълникТрети правоъгълник
Ширинаstart color #11accd, 2, end color #11accdstart color #11accd, 2, end color #11accdstart color #11accd, 2, end color #11accd
Височинаstart color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10start color #7854ab, 2, end color #7854abstart color #ca337c, 8, end color #ca337c
Площstart color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10, equals, 1start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #7854ab, 2, end color #7854ab, equals, 4start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #ca337c, 8, end color #ca337c, equals, 16
Следователно нашето приближение е 21 единициsquared.
Задача 5
Сметни с приближение площта между оста x и графиката на функцията h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 3, divided by, x, end fraction от x, equals, 0 до x, equals, 1, comma, 5, като използваш дясна сума на Риман с 3 равни подразделения.
Приближената площ е
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
мерни единициsquared.

Искаш ли още да се упражняваш? Пробвай това упражнение.

Сумите на Риман понякога завишават резултата, а в други случаи го занижават

Сумите на Риман дават приближения за площта под една крива, затова те почти винаги ще са малко над реалната площ (завишаване) или малко под реалната площ (занижаване).
Задача 6
Тази сума на Риман завишена или занижена стойност на реалната площ е?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Задача 7
Нека разгледаме лявата и дясната сума на Риман, които биха дали с приближение площта под y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis между x, equals, 2 и x, equals, 8.
Приближенията завишение ли са, или занижение? Попълни празните полета.
Лявата сума на Риман изцяло ще бъде
кривата, следователно стойността ѝ ще бъде
.
Дясната сума на Риман ще бъде изцяло
кривата, следователно стойността ѝ ще бъде
.

Задача 8
Начертана е непрекъснатата функция g.
Интересуваме се от площта под кривата между x, equals, minus, 7 и x, equals, 7 и обмисляме да използваме сумите на Риман, за да я пресметнем с приближение.
Подреди площите от най-малка (най-отгоре) до най-малка (най-отдолу).

Задача 9
Тази таблица ни показва избрани стойности за непрекъснатата и растяща функция g.
xminus, 2381318
g, left parenthesis, x, right parenthesis1319283141
Интересуваме се площта под кривата между x, equals, minus, 2 и x, equals, 18 и обмисляме да използваме лява и дясна сума на Риман, всяка с четири равни подразделения, за да сметнем с приближение площта.
Подреди площите от най-малка (най-отгоре) до най-малка (най-отдолу).

Искаш ли още да се упражняваш? Пробвай това упражнение.
Забележи: Дали една сума на Риман ще даде завишен, или занижен резултат, зависи от това дали функцията е растяща, или е намаляваща в интервала, и дали използваме лява, или дясна сума на Риман.

Ключови моменти за запомняне

Пресмятане на площ под крива с приближение с правоъгълници

Първото нещо, което трябва да си помислиш, като чуеш димите "сума на Риман", е, че се използват правоъгълници, за да се сметне с приближение площта под една крива. В ума ти трябва да си представиш нещо като това:
Дадена е графиката на една функция. Оста х не е номерирана. Графиката представлява крива. Кривата започва от положителната част на оста у, движи се нагоре и завършва в квадрант 1. Областта между кривата и координатните оси в квадрант 1 е оцветена. Оцветената област е разделена на 4 правоъгълника с еднаква широчина, които се опират в кривата с горните си леви ъгли.

По-добро приближение се постига с разделяне на повече части

Като цяло, колкото повече подразделения (т.е. правоъгълници) използваме, за да сметнем с приближение площта, толкова по-добро ще е приближението.
На графиката на функцията под кривата има област, която е разделена на 6 правоъгълника с еднаква широчина, които докосват кривата с горните си леви ъгли.

Сравнение на лява и дясна сума на Риман

Опитай се да не ги бъркаш. Лявата сума на Риман използва правоъгълници, чиито горни леви върхове са на кривата. А дясната сума на Риман използва правоъгълници, чиито горни десни върхове са на кривата.
Лява сума на РиманДясна сума на Риман
На графиката на функцията под кривата има област, която е разделена на 4 правоъгълника с еднаква широчина, които докосват кривата с горните си леви ъгли.
На графиката на функцията под кривата има област, която е разделена на 4 правоъгълника с еднаква широчина, които докосват кривата с горните си десни ъгли.

Завишаване или занижаване

Когато използваме суми на Риман, понякога получаваме завишена стойност, а понякога занижена. Добре да е можем да преценяваме дали конкретна сума на Риман е завишена, или е занижена.
Като цяло, ако функцията непрекъснато расте или непрекъснато намалява в даден интервал, можем да кажем дали сумата на Риман дава завишен или занижен резултат въз основа на това дали тя е лява, или е дясна сума на Риман.
ПосокаЛява сума на РиманДясна сума на Риман
РастящаЗаниженаЗавишена
НамаляващаЗавишенаЗанижена