Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 1
Урок 2: Приблизително решение със суми на Риман- Приближено определяне на площ. Риманова сума: въведение
- Риманови суми с излишък и недостиг
- Леви и десни риманови суми
- Намиране на дясна риманова сума за функция, зададена в табличен вид
- Леви и десни риманови суми
- Разработен пример: Риманови суми с излишък и недостиг
- Риманови суми с излишък и недостиг
- Риманова сума със средни точки
- Апроксимация на площ под крива с трапеци
- Разяснение на апроксимирането на площ под крива с трапеци
- Риманова сума със средни точки и апроксимация на площ под крива с трапеци
- Обобщение върху сумите на Риман
- Решаване на задача за движение със сума на Риман
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Леви и десни риманови суми
Площ под крива може да се оцени с помощта на правоъгълници. Такива приблизителни оценки се наричат Риманови суми.
Да предположим, че искаме да намерим площта под тази крива:
Може да е много трудно да намерим точната площ, но можем да я апроксимираме, като използваме правоъгълници.
И това приближение би станало по-добро, ако използваме повече правоъгълници.
Този вид приближения се наричат Риманови суми и те са основен инструмент в интегралното смятане. Нашата цел засега е да разберем два вида Риманови суми - леви Риманови суми и десни Риманови суми.
Леви и десни Риманови суми
За да получим Риманова сума, трябва да решим как ще построим правоъгълниците. Един възможен вариант е правоъгълниците да допират кривата с горните си леви ъгли. Това се нарича лява Риманова сума.
Друг възможен избор е правоъгълниците да допират кривата с горните си десни ъгли. Това се нарича дясна Риманова сума.
Нито един от тези варианти не е по-добър от другия.
Подразделения/части на сумата на Риман
"Подразделения" или "части" са термини, които често се споменават при работата със сумите на Риман. Те се отнасят до броя на частите, на които сме разделили интервала по x, за да получим правоъгълниците. Просто казано, броят подразделения (или части) е броят на правоъгълниците, които използваме.
Подразделенията могат да бъдат еднородни, което означава, че са с еднаква дължина, или нееднородни.
Еднородни подразделения | Нееднородни подразделения |
---|---|
Задачи върху суми на Риман с графики
Представи си, че трябва да пресметнем с приближение площта между y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis и оста x от x, equals, 2 до x, equals, 6.
И да кажем, че изберем да използваме лява сума на Риман с четири еднородни подразделения.
Забележи: Всеки правоъгълник докосва кривата с горния си ляв ъгъл, защото използваме лява сума на Риман.
След събиране на площите на правоъгълниците, получаваме 20 единициsquared, което е приблизителната площ под кривата.
Нека сега решим няколко задачи с приближение без помощта на графики.
Представи си, че трябва да пресметнем с приближение площта между оста x и графиката на f от x, equals, 1 до x, equals, 10, използвайки дясна сума на Риман с три равни подразделения. За да направим това, ни е дадена таблица със стойности на f.
x | 1 | 4 | 7 | 10 | |
f, left parenthesis, x, right parenthesis | 6 | 8 | 3 | 5 |
Добра първа стъпка е да намерим широчината на всяко подразделение. Широчината на цялата площ, която искаме да пресметнем, е 10, minus, 1, equals, 9 единици. Ако използваме три равни подразделения, тогава широчината на всеки правоъгълник ще е 9, colon, 3, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd.
От тук трябва да намерим широчината на всеки правоъгълник. Първият ни правоъгълник лежи в интервала open bracket, 1, ;, 4, close bracket. Тъй като използваме дясна сума на Риман, горният десен връх на правоъгълника трябва да е на кривата, където x, equals, 4, следователно стойността на y ще е f, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10.
По подобен начин можем да разберем, че вторият правоъгълник, който лежи в интервала open bracket, 4, ;, 7, close bracket, има горен десен връх в f, left parenthesis, 7, right parenthesis, equals, start color #7854ab, 3, end color #7854ab.
Нашият трети (и последен) правоъгълник има горен десен връх в f, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals, start color #ca337c, 5, end color #ca337c.
Сега остана само да направим сметките.
Първи правоъгълник | Втори правоъгълник | Трети правоъгълник | |
---|---|---|---|
Широчина | start color #11accd, 3, end color #11accd | start color #11accd, 3, end color #11accd | start color #11accd, 3, end color #11accd |
Височина | start color #e07d10, 8, end color #e07d10 | start color #7854ab, 3, end color #7854ab | start color #ca337c, 5, end color #ca337c |
Площ | start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, equals, 24 | start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #7854ab, 3, end color #7854ab, equals, 9 | start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #ca337c, 5, end color #ca337c, equals, 15 |
После, след като намерим индивидуалните площ, ще ги съберем, за да получим нашето приближение: 48 единициsquared.
Сега си представи, че трябва да сметнем с приближение площта между оста x и графиката на f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, start superscript, x, end superscript от x, equals, minus, 3 до x, equals, 3, като използваме дясна сума на Риман с три равни подразделения.
Целият интервал open bracket, minus, 3, ;, 3, close bracket е широк 6 единици, следователно всеки от трите правоъгълника трябва да е широк 6, colon, 3, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd единици.
Първият правоъгълник лежи в интервала open bracket, minus, 3, ;, minus, 1, close bracket, следователно височината му е f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 2, start superscript, minus, 1, end superscript, equals, start color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10. Аналогично височината на втория правоъгълник е f, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 2, start superscript, 1, end superscript, equals, start color #7854ab, 2, end color #7854ab, а височината на третия правоъгълник е f, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 2, cubed, equals, start color #ca337c, 8, end color #ca337c.
Първи правоъгълник | Втори правоъгълник | Трети правоъгълник | |
---|---|---|---|
Ширина | start color #11accd, 2, end color #11accd | start color #11accd, 2, end color #11accd | start color #11accd, 2, end color #11accd |
Височина | start color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10 | start color #7854ab, 2, end color #7854ab | start color #ca337c, 8, end color #ca337c |
Площ | start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10, equals, 1 | start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #7854ab, 2, end color #7854ab, equals, 4 | start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #ca337c, 8, end color #ca337c, equals, 16 |
Следователно нашето приближение е 21 единициsquared.
Искаш ли още да се упражняваш? Пробвай това упражнение.
Сумите на Риман понякога завишават резултата, а в други случаи го занижават
Сумите на Риман дават приближения за площта под една крива, затова те почти винаги ще са малко над реалната площ (завишаване) или малко под реалната площ (занижаване).
Искаш ли още да се упражняваш? Пробвай това упражнение.
Забележи: Дали една сума на Риман ще даде завишен, или занижен резултат, зависи от това дали функцията е растяща, или е намаляваща в интервала, и дали използваме лява, или дясна сума на Риман.
Ключови моменти за запомняне
Пресмятане на площ под крива с приближение с правоъгълници
Първото нещо, което трябва да си помислиш, като чуеш димите "сума на Риман", е, че се използват правоъгълници, за да се сметне с приближение площта под една крива. В ума ти трябва да си представиш нещо като това:
По-добро приближение се постига с разделяне на повече части
Като цяло, колкото повече подразделения (т.е. правоъгълници) използваме, за да сметнем с приближение площта, толкова по-добро ще е приближението.
Сравнение на лява и дясна сума на Риман
Опитай се да не ги бъркаш. Лявата сума на Риман използва правоъгълници, чиито горни леви върхове са на кривата. А дясната сума на Риман използва правоъгълници, чиито горни десни върхове са на кривата.
Лява сума на Риман | Дясна сума на Риман |
---|---|
Завишаване или занижаване
Когато използваме суми на Риман, понякога получаваме завишена стойност, а понякога занижена. Добре да е можем да преценяваме дали конкретна сума на Риман е завишена, или е занижена.
Като цяло, ако функцията непрекъснато расте или непрекъснато намалява в даден интервал, можем да кажем дали сумата на Риман дава завишен или занижен резултат въз основа на това дали тя е лява, или е дясна сума на Риман.
Посока | Лява сума на Риман | Дясна сума на Риман |
---|---|---|
Растяща | Занижена | Завишена |
Намаляваща | Завишена | Занижена |
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.