Основно съдържание

Интегрално смятане

Курс: Интегрално смятане > Раздел 1

Урок 2: Приблизително решение със суми на Риман

Разяснение на апроксимирането на площ под крива с трапеци

Виж как се решава един пример, като се използва правилото на трапеца, а после пробвай няколко задачи самостоятелно.

Вече знаеш, че можем да използваме сумите на Риман, за да сметнем с приближение площта под една функция. Сумите на Риман използват правоъгълници, което прави приближенията не много точни. А какво ще стане, ако използваме вместо това трапеци, за да сметнем с приближение площта под една функция?

Ключова идея: Като използваме трапеци (също познато като "правило на трапеца"), можем да получим по-точни приближения, отколкото когато използваме правоъгълници (също познато като "суми на Риман").

Пример за правилото на трапеца

Нека го разгледаме, като използваме три трапеца, за да сметнем с приближение площта под функцията f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis в интервала open bracket, 2, ;, 8, close bracket.

Ето как изглежда това на чертеж, където означаваме първия трапец като T, start subscript, 1, end subscript, втория трапец като T, start subscript, 2, end subscript и третия трапец като T, start subscript, 3, end subscript:

Спомни си, че площта на един трапец е h, left parenthesis, start fraction, b, start subscript, 1, end subscript, plus, b, start subscript, 2, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, където h е височината, а b, start subscript, 1, end subscript и b, start subscript, 2, end subscript са основите.

Намиране на площта на T, start subscript, 1, end subscript

Трябва да си представим, че трапецът е легнал настрани.

Височината h е числото 2 в долната част на T, start subscript, 1, end subscript, който обхваща от x, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54 до x, equals, start color #ca337c, 4, end color #ca337c.

Първата основа b, start subscript, 1, end subscript има стойност 3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis при x, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, което е 3, natural log, left parenthesis, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, right parenthesis.

Втората основа b, start subscript, 2, end subscript има стойност 3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis при x, equals, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, което е 3, natural log, left parenthesis, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, right parenthesis.

Ето как изглежда всичко това визуално:

Нека използваме всичко това, за да намерим площта на T, start subscript, 1, end subscript:

T, start subscript, 1, end subscript, equals, h, left parenthesis, start fraction, b, start subscript, 1, end subscript, plus, b, start subscript, 2, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis

T, start subscript, 1, end subscript, equals, 2, left parenthesis, start fraction, 3, natural log, left parenthesis, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, right parenthesis, plus, 3, natural log, left parenthesis, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, right parenthesis, divided by, 2, end fraction, right parenthesis

Опрости:

T, start subscript, 1, end subscript, equals, 3, left parenthesis, natural log, left parenthesis, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, right parenthesis, plus, natural log, left parenthesis, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, right parenthesis, right parenthesis

Намиране на площта на T, start subscript, 2, end subscript

Нека намерим височината и двете основи:

h, equals, 2

b, start subscript, 1, end subscript, equals, 3, natural log, left parenthesis, 4, right parenthesis

b, start subscript, 2, end subscript, equals, 3, natural log, left parenthesis, 6, right parenthesis

Замести и опрости:

T, start subscript, 2, end subscript, equals, 3, left parenthesis, natural log, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, natural log, left parenthesis, 6, right parenthesis, right parenthesis

Намери площта на T, start subscript, 3, end subscript

T, start subscript, 3, end subscript, equals

(Избор А)
3, left parenthesis, natural log, left parenthesis, 6, right parenthesis, plus, natural log, left parenthesis, 8, right parenthesis, right parenthesis
(Избор Б)
3, left parenthesis, natural log, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, natural log, left parenthesis, 8, right parenthesis, right parenthesis
(Избор В)
3, left parenthesis, natural log, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, natural log, left parenthesis, 6, right parenthesis, right parenthesis

[Покажи отговора]

Намиране на приближението на общата площ

Намираме общата площ, като съберем площта на всеки от трите трапеца:

start text, О, б, щ, а, space, п, л, о, щ, end text, equals, T, start subscript, 1, end subscript, plus, T, start subscript, 2, end subscript, plus, T, start subscript, 3, end subscript

Това е крайният опростен отговор:

start text, О, б, щ, а, space, п, л, о, щ, end text, equals, 3, left parenthesis, natural log, 2, plus, 2, natural log, 4, plus, 2, natural log, 6, plus, natural log, 8, right parenthesis

Трябва да спрем тук и да прегледаме сметките, за да сме сигурни, че разбираме как стигнахме до това!

Задача за упражнение

Избери израза, който в който се използват четири трапеца, за да се пресметне с приближение площта под функцията f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis в интервала open bracket, 2, ;, 8, close bracket.

(Избор А)
start fraction, 3, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, natural log, 2, plus, 2, natural log, 3, comma, 5, plus, 2, natural log, 5, plus, 2, natural log, 6, comma, 5, plus, natural log, 8, right parenthesis
(Избор Б)
start fraction, 9, divided by, 4, end fraction, left parenthesis, natural log, 2, plus, 2, natural log, 3, comma, 5, plus, 2, natural log, 5, plus, 2, natural log, 6, comma, 5, plus, natural log, 8, right parenthesis
(Избор В)
3, left parenthesis, natural log, 2, plus, 2, natural log, 3, comma, 5, plus, 2, natural log, 5, plus, 2, natural log, 6, comma, 5, plus, natural log, 8, right parenthesis
(Избор Г)
natural log, 2, plus, 2, natural log, 3, comma, 5, plus, 2, natural log, 5, plus, 2, natural log, 6, comma, 5, plus, natural log, 8

[Покажи решението]

Задача за самостоятелна работа

Избери израза, в който се използват три трапеца, за да се пресметне с приближение площта под функцията f в интервала open bracket, minus, 1, ;, 5, close bracket.

(Избор А)
start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, 5, right parenthesis, right parenthesis
(Избор Б)
f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, 5, right parenthesis
(Избор В)
start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, 2, dot, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, 2, dot, f, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, 5, right parenthesis, right parenthesis
(Избор Г)
f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, 2, dot, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, 2, dot, f, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, 5, right parenthesis

[Покажи решението]

Сортирай по:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.