Решаване на задача за движение със сума на Риман

Колоездач започва да кара и ускорява в продължение на 12 секунди. Скоростта на колоездача v от t във футове в секунда е дадена в следната таблица за интервали от 2 секунди. Дадена е скоростта в различни моменти. След 4 секунди скоростта е равна на 7,5 фута в секунда. След 8 секунди скоростта е равна на 9 фута в секунда. Представи си графика на зависимостта скорост-време. Скорост и време. Нека R от 6 да е сумата от площите на 6 десни правоъгълника с еднакви широчини. Следва, че R от 6 е приближение на цялото изминато разстояние във футове за тези 12 секунди. На какво е равна стойността на R от 6? Насърчавам те да поставиш видеото на пауза и да помислиш върху задачата самостоятелно. След това ще покажа как се решава. Във всеки момент, докато я решавам, ако се вдъхновиш, можеш отново да спреш видеото и да се опиташ да я решиш до края. Нека да помислим какво ни казват. Казват "Разгледай графиката скорост-време.". Може да се опитаме да я начертаем. Имам разграфено пространство за чертежи ето тук. Ще се фокусираме върху първи квадрант, защото всички стойности на времето и всички стойности на скоростта са положителни. Нека да видим. Това е време, а това е скорост като функция на времето. Времето е в интервала от 0 до 12, като имаме данни на всеки две секунди. Тук е нула, две, четири, шест, осем, десет и дванадесет секунди. След това скоростта се намира в интервала от 0 до 10 фута в секунда. Ето тук имаме едно, две, три, четири, пет – отбелязвам само някои от тях – шест, седем, осем, девет, десет. Мерната единица за скоростта е футове в секунда. А времето е в секунди. Нека да нанесем точките. В момент от време 0 скоростта е равна на 0. В момент от време 2 скоростта е равна на 6 фута в секунда. В момент от време 4 е равна на 7,5, което ни отвежда ето тук. В момент от време 6 е равна на 8,5. Ето тук. В момент от време 8, т.е. в осмата секунда, е равна на 9 фута в секунда. В момент от време 10 секунди е равна на 9,5 фута в секунда, а в 12-тата секунда е 10 фута в секунда. 10 фута в секунда. Току-що изобразих данните, които са ни дадени в условието, като използвах графиката скорост-време. Това са данните, които са ни известни. Може да си представим, че прекарваме крива, която изглежда по следния начин. Ако са част от крива, то тези точки са избрани от нея, а тя би могла да изглежда ето така. Нещо като това тук. Ето, че сега разглеждаме графиката скорост-време. Нека сега да помислим върху сумата от площите на шест десни правоъгълника построени върху равни подинтервали. Когато ни казват еднакви подинтервали, имат предвид еднакви участъци по продължението на някаква ос, или оста на времето в този случай, и става дума за първите 12 секунди. Тогава, ако искаме да разделим първите 12 секунди на шест равни части, то всеки от тях би имал широчина 2 секунди. Това би бил единият от тях. Ще го направя с нов цвят. Всеки от тях ще има широчина 2 секунди. Това не е нов цвят! О, това е синьо. Всеки един от тях ще е равен на 2 секунди Ще избера цвят, който по-добре контрастира със зеления. Всеки един от тези правоъгълници ще бъде широк 2 секунди и просто започвам да ги чертая от основата, защото следва да помислим колко високи да ги направим. В условието е казано да са десни правоъгълници. Какво означава десен правоъгълник? Това означава, че дефинираме височината на правоъгълника по стойността на функцията в дясната му граница. Например, за да бъде първият правоъгълник десен такъв, гледаме дясната страна, т.е. в момент 2 секунди, скоростта на 2-та секунда е 6 фута в секунда, така че това ще бъде височината на правоъгълника. Следващият ще изглежда ето така. Може би ще попиташ: "А какво е ляв правоъгълник тогава?" Ляв правоъгълник би било да направим следното нещо. За първия правоъгълник в лявата граница функцията има стойност 0. Равна е просто на 0. За следващия правоъгълник от лявата страна – гледаме функцията в момент 2 секунди. Функцията е равна на 6 фута в секунда. Следователно левите правоъгълници биха изглеждали по следния начин. (чертае) Но в задачата изискват от нас да използваме десни правоъгълници, така че нека да начертаем десни правоъгълници. Ще изчистя малко чертежа. Това е първият десен правоъгълник. Това е вторият. Ще начертая само горните основи. Трети, четвърти, пети, шести и това са горните им основи. Ще изглежда като нещо такова. Ще изглеждат ето така. Това е третият правоъгълник. Това е четвъртият. Това е петият. След това е шестият. Казват ни, че R от 6 е сумата от площите на тези правоъгълници, и ни казват, че това R от 6 е приближение на цялото изминато разстояние във футове през 12-те секунди. Защо така се получава? Защо сумата от тези площи е приближение на пълното изминато разстояние? Преди да учим математически анализ, учихме, че ако имаме постоянна скорост, то разстоянието е равно на скоростта, умножена по времето. Още веднъж, това е така, ако предположим, че скоростта е постоянна величина. Скоростта в този пример определено е променлива стойност. Ясно е, че ето тук ускоряваме, но може би можем да апроксимираме разстоянието, което е изминато, ако приемем постоянна скорост в рамките на един интервал, например от 2 секунди. Тогава приблизително ще получим разстоянието, когато приемем някаква скорост в рамките на всеки интервал. Когато имаме тези десни правоъгълници – нека да се фокусираме само върху първия правоъгълник. Ако търся лицето на първия правоъгълник, то какво трябва да направя? Умножавам височината по широчината му. Височината е равна на скоростта в края на този интервал от 2 секунди, а широчината на участъка е равна на 2 секунди. Тогава следва да умножа 6 фута в секунда по 2 секунди. Това ще е равно на 12 фута. Нека да го поясня. Лицето на този правоъгълник е равно на 6 фута в секунда, т.е. скоростта, която всъщност е абсолютната скорост, като няма да взимаме предвид направлението, в което се движим. 6 фута в секунда, умножено по 2 секунди. Това ще ми даде 12 фута. Може да кажем, че това е приближение, защото сме се движили 2 секунди с някаква скорост, но дали това ще бъде апроксимация с излишък или с недостиг? Ще бъде апроксимация с излишък, защото вземаме най-високата скорост в рамките на интервала. Интервалът започва, когато колоездачът има скорост 0 фута в секунда. Със сигурност е приближение с излишък и ако искаш да помислиш върху това, те насърчавам да поставиш видеото на пауза и да разсъждаваш самостоятелно. Ако бяхме използвали ляв правоъгълник, щеше да бъде приближение с недостиг, защото щяхме да вземем най-ниската скорост в рамките на интервала и да я умножим по дължината на интервала. Това е приближение. Нека да изчислим на какво е равно R от 6. R от 6 ще бъде площта на този правоъгълник, която, както вече казахме, е 6 фута в секунда, умножено по 2 секунди. Следователно ще бъде равна на 12 фута. След това имаме този правоъгълник, чиято височина ще бъде 7,5 фута в секунда, умножено по 2 секунди, което е равно на 15 фута – дори можеш да го видиш в площта ето тук. Ще бъде с 3 фута по-голяма. Едно, две и след това половината от тези двете ще бъде 3 фута повече. След това имаме лицето на този правоъгълник, което ще бъде 8,5, т.е. скоростта в края на интервала е равна на 8,5 фута в секунда, умножено по 2 секунди, което ни дава 17 фута. След това плюс тази площ, която е равна на скоростта в края на интервала, която е равна на 9 фута в секунда, умножено по 2 секунди, т.е. плюс 18 фута. След това имаме скоростта за ето тази площ, която е равна на тази височина. Скоростта в края на интервала, която е равна на 9,5 фута в секунда, умножено по 2 секунди, т.е. плюс 19 фута. Накрая имаме тази площ, която е скоростта в края на интервала, т.е. 10 фута в секунда, умножено по 2 секунди, т.е. плюс 20 фута. На какво е равна тази сума? Това е точката, в която е най-вероятно да направя грешка. 12 плюс 15 е равно на 27, след това 27 плюс 10 е равно на 37, плюс още 7 е равно на 44, това означава 44 плюс 18 е равно на... Нека да видим. Плюс 4 е 52, плюс 10 дава 62, така че това ще бъде 62 плюс 19, което е равно на 81, плюс 20, е равно на 101. Това е в мерни единици футове. R от 6 е равно на 101 фута, което е приближение на пълното изминато разстояние по време на първите 12 секунди, но това по същество е приближение с излишък, защото за всеки интервал вземаме най-високата скорост в интервала. Ако вземем най-ниската скорост в интервала, то ще получим приближение с недостиг. Можехме да използваме леви правоъгълници. Можеше да получим нещо средно между двете стойности, ако бяхме решили да взем средната от двете стойности. Например, ако бяхме избрали височината на правоъгълника да е равна на 3 за първата фигура или нещо такова. Ще го направим в следващи уроци.