Риманова сума със средни точки

В настоящия урок искам да придобиеш представа за това как се прави приблизителна оценка на площта под дадена крива. За целите на този пример ще използваме кривата у равно на х на квадрат плюс 1. Нека да разгледаме площта под кривата, над оста х, в интервала от х равно на минус 1 до х равно на 2. Това следва да е ето тази площ тук. Има много начини, по които мога да подходя към задачата, но това което ще направя, е да разделя този интервал на три равни подинтервала, които са основи на правоъгълници. След това ще помислим върху различните начини да дефинираме височините на тези правоъгълници. Отново, ще апроксимирам площта, като използвам три правоъгълника с равни широчини. А след това ще помислим върху различните начини, по които да дефинираме височините на правоъгълниците. Нека първо дефинираме височините на всеки правоъгълник, като стойност на функцията в средната точка на съответния интервал. Тоест ще използваме това ето тук. Нека само да се уверим, че разбираме това, което правим. Разглеждаме първия правоъгълник ето тук. Нека първо обаче да обърнем внимание, че разделяме ето този интервал, (показва на екрана) т.е. интервала от х равно на минус 1 до х равно на 2, разделяме го на три равни части. Тогава всяка една от тях ще има широчина единица. Ако искаме по-добро приближение може да разделим интервала на повече правоъгълници, но нека да видим сега как ще изчислим това. Широчината на всеки един правоъгълник е равна на 1. Височината представлява стойността на функцията в средната точка на интервала. Средната точка тук е равна на минус 1/2. Средната точка тук е равна на 1/2. Средната точка тук е равна на 3/2. Следователно тази височина ще бъде равна на минус 1/2 на квадрат плюс 1. Минус 1/2 на квадрат е равно на 1/4, плюс 1, е равно на 5/4. Височината тук се получава 5/4. Имаме 5/4, умножено по 1. Тази площ е равна на 5/4. Нека да го запиша. Ако използваме средната точка, за да дефинираме височината на всеки правоъгълник, то първият има площ от 5/4. Записвам го с цвят, който можеш да видиш: 5/4. За втория интервал прилагаме същия метод. 1/2 на квадрат плюс 1 отново е равно на 5/4. Умножаваме по широчината от 1. И получаваме 5/4 за площта. Нека го добавя към първата площ. Плюс 5/4. След това имаме този трети правоъгълник. Каква е височината му? Дефинираме височината чрез средната точка. Следователно 3/2 на квадрат е равно на 9/4, плюс 1, което е равно на 13/4. Следователно има височина 13/4. Широчината е равна на 1, т.е. умножаваме по 1. Получаваме 13/4. Записваме плюс 13/4, което ще ни даде 23/4. Това е равно на 5 цяло и 3/4. Ето това е методът, познат като апроксимация чрез средна точка, където използваме средната точка на всеки интервал, за да дефинираме височината на всеки правоъгълник. Това обаче не е единственият начин да го направим. Може да използваме лявата граница или дясната граница на участъка. Ще го направим в следващи уроци. Ако искаме само да го видим сега, ще го направя много набързо. Ако искаме да използваме лявата граница на всеки интервал, то ето тук лявата граница е минус 1. Минус 1 на квадрат плюс 1 е равно на 2. 2 умножено по 1 е равно на 2. След това тук вземаме лявата част на този интервал, която е х равно на 0. 0 на квадрат плюс 1 е равно на 1. 1 умножено по 1 е равно на 1. След това ето тук лявата граница е 1. Имаме 1 на квадрат плюс 1, което е равно на 2. Умножаваме по 1, т.е. основата, и получаваме 2. Ето, че получихме вариант, в който вземаме левите граници, където площта е равна на 2 плюс 1, плюс 2, или цялата площ е равна на 5. Може да разгледаме и десните граници на интервалите. Този първи правоъгълник тук очевидно апроксимира площта с недостиг в първото деление. Дясната граница е равна на 0. 0 на квадрат плюс 1 е равно на 1. Височината е 1, широчината е 1, тогава и площта е равна на 1. Вземаме втория правоъгълник ето тук. Има следната височина. Гледаме дясната граница. 1 на квадрат плюс 1 е равно на 2. Умножаваме по широчината 1, което ще ни даде 2. След това дясната граница ето тук е равна на 2. Повдигаме на квадрат плюс 1, което е равно на 5. Умножаваме по широчината 1 и получаваме 5. В този случай получаваме – когато използваме десните граници на интервалите – получаваме следния сбор. 1 плюс 2, плюс 5, което е равно на 8. И като разгледаме на око, изглежда, че по-скоро получаваме излишък, а не недостиг. Това изглежда като приблизителна оценка на площта с излишък. Цялата идея тук е просто да обърнем внимание на това как може да изчислим тези приблизителни оценки, като използваме правоъгълници. Както се досещаш, ако направим повече правоъгълници, които имат все по-тесни и по-тесни основи, но все пак покриват интервала, който е от х равно на минус 1 до х равно на 2, то ще получаваме все по-точна и по-точна приблизителна оценка на реалната площ.