Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 1
Урок 2: Приблизително решение със суми на Риман- Приближено определяне на площ. Риманова сума: въведение
- Риманови суми с излишък и недостиг
- Леви и десни риманови суми
- Намиране на дясна риманова сума за функция, зададена в табличен вид
- Леви и десни риманови суми
- Разработен пример: Риманови суми с излишък и недостиг
- Риманови суми с излишък и недостиг
- Риманова сума със средни точки
- Апроксимация на площ под крива с трапеци
- Разяснение на апроксимирането на площ под крива с трапеци
- Риманова сума със средни точки и апроксимация на площ под крива с трапеци
- Обобщение върху сумите на Риман
- Решаване на задача за движение със сума на Риман
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Приближено определяне на площ. Риманова сума: въведение
Намиране на приблизителната площ под дадена крива с използване на няколко правоъгълника. Това е така наречената "сума на Риман". Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
В настоящия урок
ще се опитаме да намерим приблизителна стойност
на площта под кривата у е равно на х на квадрат
плюс 1, в интервала от х равно на 1
до х равно на 3. Приблизителната стойност
ще получим като построим четири правоъгълника
под кривата, които са с еднаква широчина. Първо да помислим
как ще изглеждат правоъгълниците. И четирите ще имат
еднаква широчина. Изглеждат ето така,
и така, и така. Все още не съм дефинирал горната
основа на правоъгълниците. Нека обаче да помислим
на какво следва да е равна широчината,
за да е еднаква за всички. Може да я означим с делта х. Ето това разстояние тук ще означим като
делта х. Делта х следва да бъде...
пълното разстояние което изминаваме по оста х – завършваме в точката
х равно на 3, започваме в х равно на 1, делим на 4, защото построяваме четири
правоъгълника с еднаква широчина. Следователно делта х
е равно на 1/2. Например първият интервал до границата между първия
и втория правоъгълник, ще завършва в 1,5. След това имаме 1/2
напред и стигаме до 2. След това стигаме до 2,5. А след това още 1/2
и завършваме в 3. Нека сега да помислим
как да дефинираме височината на правоъгълниците. За целите на настоящия урок –
а в бъдеще ще видим, че има и други начини
да го направим – ще използвам лявата граница
на правоъгълника, за да дефинирам височината.
Или бих могъл да кажа функцията, т.е ще използвам стойността на функцията,
в нейната лява граница на интервала, за да дефинирам височината. Например за първия
правоъгълник в тази точка (посочва точката с абсциса х = 1)
функцията има стойност, равна на f от 1. Тогава ето това
ще бъде височината на първия правоъгълник. След това идваме ето тук,
при лявата граница на втория правоъгълник. Сега гледаме стойността
на функцията за х равно на 1,5. Ето това тук е
стойността на f от 1,5. Това е височината. Така се получава
вторият правоъгълник. Тогава продължавам
да използвам същия метод. За третия правоъгълник имаме f от 2. Функцията, изчислена
за точката х равно на 2. Пада се точно тук. Това е f от 2. Така се получава
третият правоъгълник. Накрая остана
четвъртият правоъгълник, където е стойността
на функцията f за х = 2,5. Височината е равна на f от 2,5. Това е f от 2,5. Запомни – за всеки един
правоъгълник просто гледам лявата граница
на правоъгълника, и вземам стойността
на функцията там, за да определя височината
на правоъгълника. Сега, след като ги построих, на колко е равна
приблизителната стойност на лицето, изчислена като сума от лицата
на тези правоъгълници? Ясно е, че това няма да е
някакво съвършено точно приближение. Ето тук остава много площ
извън правоъгълниците. Нека да видя дали мога
да я оцветя с цвят, който не съм използвал досега. Остават следните площи. Пренебрегваме
ето тази площ. Ето тази площ. Ето тази площ. Остава ето тази площ. Но все пак търсим
само приближение и може би, ако имах
повече правоъгълници, тогава щяхме да получим
по-точно приближение. Нека да намерим
площите на всеки един от тези правоъгълници. Лицето на първия правоъгълник ще бъде равно на
височината, т.е. f от 1, умножена по основата,
т.е. делта х. Лицето на втория
правоъгълник е равно на височина,
която избрахме да е f от 1,5, умножена по основата,
т.е. по делта х. Височината на третия
правоъгълник е равна на стойността
на функцията в лявата граница, т.е. f от 2. Следователно плюс f от 2,
умножено по основата делта х. Накрая имаме лицето
на четвъртия правоъгълник, чиято височина е равна
на стойността на f от 2,5. Ще избера различен цвят от този, който исках
да използвам. Исках да използвам
ето този оранжев цвят. Записвам плюс f от 2,5,
умножено по основата. Това ще бъде равно
на приблизителната площ, и за да поясня, това е
приблизителната площ под кривата, която е равна на сумата
от лицата на тези правоъгълници. Нека сега да я изчислим. Това ще бъде равно на f от 1. Тоест, стойността на
функцията за х равно на 1. 1 на квадрат плюс 1 е равно на 2,
така че ще се получи 2 по 1/2. Плюс f от 1,5. 1,5 на квадрат е равно на 2,25. Прибавяме 1 към него
и става 3,25. Следователно плюс
3,25 по 1/2. След това имаме f от 2. Получава се 2 на квадрат плюс 1,
което е равно на 5, умножено по 1/2. Накрая имаме f от 2,5. 2,5 на квадрат е равно
на 6,25, плюс 1. Това прави 7,25,
умножено по 1/2. За да опростим изчисленията, може да изнесем пред скоби 1/2. Следователно ще се получи
следното. Това 1/2, ще го запиша с неутрален цвят.
1/2 по (2 плюс 3,25, плюс 5, плюс 7,25). Цялото е равно
на 1/2 по следното. Нека да видя дали мога
да го сметна наум. 2 плюс 5 е лесно. Равно е на 7. 3 плюс 7 е равно на 10. Прибавяме останалото 0,25,
плюс 0,25, получава се 10,5 плюс 7,
което е равно на 17,5. Следователно имаме 1/2 по 17,5,
което е равно на 8,75. Това, отново припомням,
ни дава приближението на площта. Ясно е, че така
както съм го начертал тук, за функцията, която разглеждаме, тази площ е по-малка, защото остава непокрита ето тази
розова площ, която оцветих. Площта е по-малка,
но е приближение на площта под кривата. В следващите няколко урока ще се опитаме да обобщим
този метод за случая, в който имаме
произволна функция и имаме произволен
брой правоъгълници. В следващите уроци също така ще дефинираме височината
на правоъгълниците не чрез лявата,
а чрез дясната граница, или чрез средната точка
на горната основа. Или стигаме до момент, в който
вече не използваме правоъгълници. Може да използваме трапеци. Както и да е. Приятно учене!