Приближено определяне на площ. Риманова сума: въведение

В настоящия урок ще се опитаме да намерим приблизителна стойност на площта под кривата у е равно на х на квадрат плюс 1, в интервала от х равно на 1 до х равно на 3. Приблизителната стойност ще получим като построим четири правоъгълника под кривата, които са с еднаква широчина. Първо да помислим как ще изглеждат правоъгълниците. И четирите ще имат еднаква широчина. Изглеждат ето така, и така, и така. Все още не съм дефинирал горната основа на правоъгълниците. Нека обаче да помислим на какво следва да е равна широчината, за да е еднаква за всички. Може да я означим с делта х. Ето това разстояние тук ще означим като делта х. Делта х следва да бъде... пълното разстояние което изминаваме по оста х – завършваме в точката х равно на 3, започваме в х равно на 1, делим на 4, защото построяваме четири правоъгълника с еднаква широчина. Следователно делта х е равно на 1/2. Например първият интервал до границата между първия и втория правоъгълник, ще завършва в 1,5. След това имаме 1/2 напред и стигаме до 2. След това стигаме до 2,5. А след това още 1/2 и завършваме в 3. Нека сега да помислим как да дефинираме височината на правоъгълниците. За целите на настоящия урок – а в бъдеще ще видим, че има и други начини да го направим – ще използвам лявата граница на правоъгълника, за да дефинирам височината. Или бих могъл да кажа функцията, т.е ще използвам стойността на функцията, в нейната лява граница на интервала, за да дефинирам височината. Например за първия правоъгълник в тази точка (посочва точката с абсциса х = 1) функцията има стойност, равна на f от 1. Тогава ето това ще бъде височината на първия правоъгълник. След това идваме ето тук, при лявата граница на втория правоъгълник. Сега гледаме стойността на функцията за х равно на 1,5. Ето това тук е стойността на f от 1,5. Това е височината. Така се получава вторият правоъгълник. Тогава продължавам да използвам същия метод. За третия правоъгълник имаме f от 2. Функцията, изчислена за точката х равно на 2. Пада се точно тук. Това е f от 2. Така се получава третият правоъгълник. Накрая остана четвъртият правоъгълник, където е стойността на функцията f за х = 2,5. Височината е равна на f от 2,5. Това е f от 2,5. Запомни – за всеки един правоъгълник просто гледам лявата граница на правоъгълника, и вземам стойността на функцията там, за да определя височината на правоъгълника. Сега, след като ги построих, на колко е равна приблизителната стойност на лицето, изчислена като сума от лицата на тези правоъгълници? Ясно е, че това няма да е някакво съвършено точно приближение. Ето тук остава много площ извън правоъгълниците. Нека да видя дали мога да я оцветя с цвят, който не съм използвал досега. Остават следните площи. Пренебрегваме ето тази площ. Ето тази площ. Ето тази площ. Остава ето тази площ. Но все пак търсим само приближение и може би, ако имах повече правоъгълници, тогава щяхме да получим по-точно приближение. Нека да намерим площите на всеки един от тези правоъгълници. Лицето на първия правоъгълник ще бъде равно на височината, т.е. f от 1, умножена по основата, т.е. делта х. Лицето на втория правоъгълник е равно на височина, която избрахме да е f от 1,5, умножена по основата, т.е. по делта х. Височината на третия правоъгълник е равна на стойността на функцията в лявата граница, т.е. f от 2. Следователно плюс f от 2, умножено по основата делта х. Накрая имаме лицето на четвъртия правоъгълник, чиято височина е равна на стойността на f от 2,5. Ще избера различен цвят от този, който исках да използвам. Исках да използвам ето този оранжев цвят. Записвам плюс f от 2,5, умножено по основата. Това ще бъде равно на приблизителната площ, и за да поясня, това е приблизителната площ под кривата, която е равна на сумата от лицата на тези правоъгълници. Нека сега да я изчислим. Това ще бъде равно на f от 1. Тоест, стойността на функцията за х равно на 1. 1 на квадрат плюс 1 е равно на 2, така че ще се получи 2 по 1/2. Плюс f от 1,5. 1,5 на квадрат е равно на 2,25. Прибавяме 1 към него и става 3,25. Следователно плюс 3,25 по 1/2. След това имаме f от 2. Получава се 2 на квадрат плюс 1, което е равно на 5, умножено по 1/2. Накрая имаме f от 2,5. 2,5 на квадрат е равно на 6,25, плюс 1. Това прави 7,25, умножено по 1/2. За да опростим изчисленията, може да изнесем пред скоби 1/2. Следователно ще се получи следното. Това 1/2, ще го запиша с неутрален цвят. 1/2 по (2 плюс 3,25, плюс 5, плюс 7,25). Цялото е равно на 1/2 по следното. Нека да видя дали мога да го сметна наум. 2 плюс 5 е лесно. Равно е на 7. 3 плюс 7 е равно на 10. Прибавяме останалото 0,25, плюс 0,25, получава се 10,5 плюс 7, което е равно на 17,5. Следователно имаме 1/2 по 17,5, което е равно на 8,75. Това, отново припомням, ни дава приближението на площта. Ясно е, че така както съм го начертал тук, за функцията, която разглеждаме, тази площ е по-малка, защото остава непокрита ето тази розова площ, която оцветих. Площта е по-малка, но е приближение на площта под кривата. В следващите няколко урока ще се опитаме да обобщим този метод за случая, в който имаме произволна функция и имаме произволен брой правоъгълници. В следващите уроци също така ще дефинираме височината на правоъгълниците не чрез лявата, а чрез дясната граница, или чрез средната точка на горната основа. Или стигаме до момент, в който вече не използваме правоъгълници. Може да използваме трапеци. Както и да е. Приятно учене!