If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Видео транскрипция

Да опитаме да направим приблизителна оценка на площта под кривата у равно на квадратен корен от х минус 1 в интервала от х равно на 1 до х равно на 6. Искаме да намерим цялата тази площ. Или поне искаме да направим приблизителна оценка на цялата тази площ. Ще го направя, като разделя тази площ на пет трапеца с равна широчина. Това ще бъде лявата граница на първия трапец. Това ще бъде дясната граница, която също така ще бъде лява граница на втория трапец. Това ще бъде дясната граница на втория трапец. Това е дясната граница на третия трапец. Това ще бъде дясната граница на четвъртия трапец. Накрая ето това ще бъде дясната граница на петия трапец. Намираме се в интервала от 1 до 6, т.е. изминаваме разстояние 6 минус 1 по оста х. Искам да го разделя на пет равни части. Следователно широчината на всеки трапец ще бъде равна на 1. Ако изберем широчината на един трапец да е делта х, то може да кажем, че делта х е равно на 1. Нека да построим трапеците. Първият трапец ще изглежда ето така. Ето по този начин. Всъщност ще бъде триъгълник, а не действително трапец. Вторият трапец ще изглежда ето така. Предполагам, че може да кажем за трапец, на който едната основа има дължина 0, че се превръща в триъгълник. След това третият трапец ще изглежда по следния начин. Четвъртият трапец ще изглежда ето така. Накрая имаме петия трапец. Нека да изчислим лицата на всяка една фигура. Така ще получим приблизителната оценка на площта под кривата. Нека изчислим площта на трапеца, или по-точно на триъгълника, на първата фигура, без значение как ще я наречем. На какво е равна площта на тази фигура? Лицето на трапец – а сега ще видиш, че това ще се превърне в лицето на триъгълник, е равно на средната стойност от двете основи на трапеца. Така както го гледаме, следва да кажем, че това е средната стойност от двете успоредни страни. Предполагам, че това е най-добрият начина да се формулира. f от 1 – това е височината тук – плюс f от 2, и цялото върху 2, а след това ще го умножим по делта х. Умножаваме го по делта х. Нека да го запиша в същия червен цвят, за да ти покажа, че това е площта на първия трапец. Умножаваме по делта х. Както виждаш ето тук, f от 1 ще бъде равно на 0. Следователно ще се получи f от 2, което е тази височина, умножено по тази основа, умножено по 1/2. И това ни дава точно лицето на триъгълник. Нека да разгледаме втория трапец. Трапец номер две ето тук. Каква е неговата площ? Тя е f от 2 плюс f от 3. f от 2 е ето тази височина. f от 3 е ето тази височина. Намираме сбора от двете височини. Разделяме го на 2, което дава средната стойност, и умножаваме по основата, т.е. по делта х. Нека сега да разгледаме и трапец номер 3. Мисля, че разбираш основната идея тук. Лицето на трапец номер 3 ще бъде f от 3 плюс f от 4, разделено на 2 и умножено по делта х. Нека да видим след това. Свършват ми цветовете. Това тук е трапец номер четири. После имаме f от 4 плюс f от 5, всичко това върху 2, по делта х. Накрая следва последният трапец. Ще го направя в жълто. Това е трапец номер 5. Ще сляза малко по-надолу, за да си осигуря малко повече място. Получава се плюс, просто ще запиша плюс ето тук, плюс f от 5 плюс f от 6, върху 2, по делта х. Нека да видим как можем да опростим този израз. Във всеки от членовете присъства 1/2 по делта х, така че нека да го изнесем пред скоби. Спомни си, че това е приблизителна оценка на площта. Записваме: площта е приблизително равна на това, защото това е само приблизителна оценка. Очевидно е, дори може би ще кажеш, че е много подходящо да се използват трапеци, но е ясно също така, че не можем да покрием част от площта. Изключваме тази площ. Изключваме част от тези площи ето тук. Едва се забелязват. Част от площта ето тук, която едва се забелязва. Изглежда обаче, че това, което ще получим, е приблизителна оценка с недостиг. Все пак обаче е добра приблизителна оценка. Нека сега да видим, как може да опростим този израз. Площта е приблизително равна на следното. Изнасям пред скоби делта х върху 2. След това имам това, което е останало. Ще използвам неутрален цвят. Изнасям делта х върху 2, а след това имам само f от 1, следва два пъти f от 2, т.е. плюс 2 пъти по f от 2... Правя това, защото може би виждаш такива формули, т.е. изглеждащи така, в учебника си по анализ. Не е нещо мистериозно. Просто са сумирали лицата на трапеците. След това ще имаме 2 пъти по f от 3. Плюс 2 пъти по f от 3. f от 4 също се повтаря. Плюс 2 пъти по f от 4. След това имаме два пъти f от 5, така че следва 2 по f от 5. Накрая имаме един път f от 6, т.е. плюс f от 6. Нека да обобщим всичко. Имаме един член за първата крайна точка, функцията изчислена в първата крайна точка, и един член за последната точка. Остават по два пъти от всеки член за другите точки. Това е просто лицето на трапеците. Не ми харесва, когато в учебниците е записано то този начин, защото, когато го видиш, е трудно да си представиш самите трапеци. А когато видиш този израз, е много по-лесно да си ги представиш. Готови сме с това и сега да изчислим израза. За щастие сметките тук са прости. Делта х е равно на 1. Делта х е равно на 1. Тогава просто следва да изчислим всички тези членове. Нека си припомним на какво е равна първоначалната функция. Първоначалната функция е равна на квадратен корен от х минус 1. Квадратен корен от х минус 1. Имаме f от 1, което е равно на квадратен корен от 1 минус 1. Следователно това е равно на 0. Този израз ето тук ще бъде 2 по квадратен корен от 2 минус 1. Квадратен корен от 2 минус 1 е равен на 1. Тогава този член е равен на 2. Нека да го запиша със същия цвят. В момента използвам лилаво с различна цел. Това е първият трапец. Надявам се, че го разбираш. Просто остана този цвят на писеца. След това имаме f от 3. 3 минус 1 е равно на 2, т.е квадратен корен от 2. Тогава функцията, изчислена в точка 3, е равна на квадратен корен от 2. Тук ще се получи 2 по квадратен корен от 2. След това имаме функцията, изчислена в точка 4. Когато я изчислим за точка 4, получаваме квадратен корен от 3. Това ще бъде равно на 2 по квадратен корен от 3. След това имаме 2 по квадратен корен от 4, защото 5 минус 1 е равно на 4. 2 по квадратен корен от 4 е равно на 4. И накрая имаме f от 6, т.е. квадратен корен от 6 минус 1, или квадратен корен от 5. Мисля, че сега сме готови да изчислим площта. Нека да взема своя удобен калкулатор TI-85, за да го изчисля. Ще се получи следното. Сега просто ще пресмятам. Просто ще умножавам. 0,5 по това, което е в скобите. Първо е 0. Ще го запиша, за да е ясно какво правя. 0 плюс 2...Опа! Изгубих си калкулатора. Плюс 2 по квадратен корен от 2, плюс 2 по квадратен корен от 3, плюс 4, плюс квадратен корен от 5. Нека го запиша – плюс квадратен корен от 5. Това дава... Почти сме готови да се поздравим. Получава се стойност, която просто ще закръгля на 7,26. Следователно площта е приблизително равна на 7,26 – това е площта под кривата у равно на квадратен корен от х минус 1, в интервала от х равно на 1 до х равно на 6. Изчислихме я, като използвахме трапеци.