If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Означение за сума

Можем да описваме суми с много членове като използваме символът сигма – Σ. Научи как пресмятаме суми, написани по този начин.
Записът на сума чрез главната гръцка буква сигма (Сигма запис) ни позволява да записваме дълги суми с един кратък израз.

Разшифроване на значението на знака за сума

Това е символът сигма: sum . Той ни казва, че сумираме нещо.
Да започнем с прост пример:
Завършваме с n=3(включително)n=132n1Израз за всекиЗапочваме с n=1член на сумата\begin{aligned} \scriptsize\text{Завършваме с }n=3& \\ \scriptsize\text{(включително)} \\ \searrow\qquad& \\\\ \LARGE\displaystyle\sum_{n=1}^3&\LARGE 2n-1 \\ &\qquad\quad\nwarrow \\ \nearrow\qquad&\qquad\scriptsize\text{Израз за всеки} \\ \scriptsize\text{Започваме с }n=1&\qquad\scriptsize\text{член на сумата} \end{aligned}
Това е сумиране за израза 2, n, minus, 1 за целочислените стойности на n от 1 до 3:
=n=132n1=[2(1)1]n=1+[2(2)1]n=2+[2(3)1]n=3=1+3+5=9\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD n=1}^3 2\goldD n-1 \\\\ &=\underbrace{[2(\goldD 1)-1]}_{\goldD{n=1}}+\underbrace{[2(\goldD 2)-1]}_{\goldD{n=2}}+\underbrace{[2(\goldD 3)-1]}_{\goldD{n=3}} \\\\ &=1+3+5 \\\\ &=9 \end{aligned}
Забележи как заместихме start color #e07d10, n, equals, 1, end color #e07d10, start color #e07d10, n, equals, 2, end color #e07d10 и start color #e07d10, n, equals, 3, end color #e07d10 в 2, start color #e07d10, n, end color #e07d10, minus, 1 и събрахме получените членове.
n е нашият сумационен индекс. Когато пресмятаме сума, заместваме с различни стойности на индекса.
Задача 1
sum, start subscript, n, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, n, squared, equals, question mark
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Сумата може да започне и да свърши при произволни стойности на n. Например тази сума приема целочислени стойности на n от 4 до 6:
=n=46n1=(41)n=4+(51)n=5+(61)n=6=3+4+5=12\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD n=4}^6 \goldD n-1 \\\\ &=\underbrace{(\goldD 4-1)}_{\goldD{n=4}}+\underbrace{(\goldD 5-1)}_{\goldD{n=5}}+\underbrace{(\goldD 6-1)}_{\goldD{n=6}} \\\\ &=3+4+5 \\\\ &=12 \end{aligned}
Можем да използваме каквато буква искаме за индекс. Например в този израз индексът е i:
=i=023i5=[3(0) ⁣ ⁣5]i=0+[3(1) ⁣ ⁣5]i=1+[3(2) ⁣ ⁣5]i=2=5+(2)+1=6\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD i=0}^2 3\goldD i-5 \\\\ &=\underbrace{[3(\goldD 0)\!-\!5]}_{\goldD{i=0}}+\underbrace{[3(\goldD 1)\!-\!5]}_{\goldD{i=1}}+\underbrace{[3(\goldD 2)\!-\!5]}_{\goldD{i=2}} \\\\ &=-5+(-2)+1 \\\\ &=-6 \end{aligned}
Задача 2
sum, start subscript, k, equals, 3, end subscript, start superscript, 5, end superscript, k, left parenthesis, k, plus, 1, right parenthesis, equals
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Задача 3
Да разгледаме сумата 4, plus, 25, plus, 64, plus, 121.
Кой израз е равен на сумата по-горе?
Избери всички правилни отговори:
Избери всички правилни отговори:

Някои изрази за суми имат и променливи, различни от индекса. Да разгледаме тази сума:
sum, start subscript, n, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, start fraction, k, divided by, n, plus, 1, end fraction.
Забележи, че индексът ни е n, а не k. Това означава, че заместваме n със стойностите, a k си остава неизвестно:
=n=13kn+1=k(1)+1+k(2)+1+k(3)+1=k2+k3+k4\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD n=1}^3 \dfrac{k}{\goldD n+1} \\\\ &= \dfrac{k}{(\goldD 1)+1} + \dfrac{k}{(\goldD 2)+1} + \dfrac{k}{(\goldD 3)+1} \\\\ &= \dfrac{k}{2} + \dfrac{k}{3} + \dfrac{k}{4} \end{aligned}
Ключов момент: Преди да пресметнеш сума, записана със знака Сигма за сума, идентифицирай сумационния индекс и замествай само него. Всички други неизвестни трябва да останат такива, каквито са.
Задача 4
sum, start subscript, m, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, 8, k, minus, 6, m, equals, question mark
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Искаш да се упражняваш още? Опитай това упражнение.