Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 1
Урок 16: Тригонометрично заместване- Въведение в интегриране чрез заместване с използване на тригонометрични тъждества
- Заместване с x=sin(тита)
- Още задачи с интегриране чрез заместване с използване на тригонометрични тъждества
- Интегриране чрез заместване в комбинация с използване на тригонометрични тъждества (част 1)
- Интегриране чрез заместване в комбинация с използване на тригонометрични тъждества (част 2)
- Интегриране чрез заместване с използване на тригонометрични тъждества и допирателна
- Още примери за интегриране чрез заместване и използване на функцията тангенс
- Дълга задача с интегриране чрез заместване и тригонометрични тъждества
- Тригонометрично заместване
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Заместване с x=sin(тита)
Когато интегрираш израз, който съдържа (1-x^2), пробвай да заместиш sin(тита) с x. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Да проверим дали можем да намерим
този неопределен интеграл. Идеята, че тригонометрично
заместване ще бъде подходящо, идва от това,
което имаме в знаменателя под радикала. Когато видиш нещо във вида а на квадрат минус х на квадрат,
може да е добра идея – не винаги – но обикновено е знак,
че е добра идея да направим заместването х равно
на синус от θ (тета). Ако направиш това, то изразът ще стане а на квадрат минус
а на квадрат по синус от θ. И ако изнесеш пред скоби
а на квадрат, можеш да използваш едно от основните тригонометрични
тъждества. Това ето тук е косинус квадрат от θ и това може би ще опрости израза. Може би си мислиш, че това 8 минус 2 по х на квадрат
не е толкова очевидно, че е а на квадрат минус х на квадрат. Можем обаче да опростим израза. Предполагам, че може да го запишем
по начин, който много прилича на ето
този вид. Може да запишем 8 минус 2, но нека
го запиша под образеца. Може да запишеш 8 минус 2 по х
на квадрат. Ако изнесем 2 пред скоби вътре
остава 4 минус х на квадрат. Този израз вече има вида а на квадрат минус х на квадрат. Може да запишеш това като 2 по 2
на квадрат минус х на квадрат. В такъв случай а ще бъде равно на 2. Тогава нека да направим
заместването. Да направим заместването х е равно на 2 по синус от θ, а dx ще бъде равно на 2 по косинус
от θ dθ. Тогава на какво ще бъде равна тази
част под радикала? Вече започнахме да го опростяваме
ето тук. Ще се получи 2 по 2 на квадрат
минус х на квадрат. х на квадрат е 2 по синус от θ,
така че х на квадрат ще бъде равно на 2 на квадрат
по синус квадрат от θ. Сега може да изнесем пред скоби
2 на квадрат. Ще се получи 2 по 2 на квадрат, умножено по 1 минус синус квадрат
от θ. 2 по 2 на квадрат, което е равно на 8, умножено по косинус квадрат от θ. Ето това се получава под знака
за радикал. Нека го направим. Нека заместим в израза тук горе. Ще получим следното. Ще изнеса π (пи) пред интеграла. Получаваме π по dx. dx е равно на 2 по косинус от θ dθ. Получаваме следното. Нека
да го изясня. Ще оградя dx със син цвят. Ето това dx тук е 2 по косинус от θ dθ. Нека да запиша 2 по косинус от θ, а dθ ще го запиша ето тук. Може да се запише и в числителя. Тогава тук в знаменателя ще запиша квадратен корен
от този израз. Квадратен корен от 8 по косинус
квадрат от θ. Квадратен корен от това ще бъде 2 по квадратен корен от 2. Квадратен корен от 8 е равно
на 2 по квадратен корен от 2. Нека го запиша. Нека да изясня какво правя. Ето този израз в знаменателя ще бъде
равен на квадратен корен от този, което е 2 по квадратен корен от 2. Това е квадратен корен от 8. А квадратен корен от косинус
квадрат от θ ще бъде равно на косинус от θ. Може би ще попиташ "Хей, почакай, ако намеря квадратен корен от нещо
на квадрат, няма ли това да е равно на
абсолютната стойност от косинус θ?". За да премахна абсолютната стойност следва да предположа, че косинус θ
е по-голямо от 0. Може да предположим, че косинус θ
е положително. Нека разгледаме ето тази част
от заместването. Ако искахме да го решим за θ, щяхме
да разделим двете страни на 2, и да получим х върху 2 е равно
на синус от θ. Или можем да кажем, че θ е равно
на аркуссинус от х върху 2. По дефиниция аркуссинус функцията ще ни даде, че θ се намира между
минус π/2 и π/2. А в този интервал косинус от θ ще бъде винаги положително. Следователно не е необходимо
да записваме абсолютна стойност. Знаем, че косинус от θ
е по-голямо от 0. Сега можем да започнем да опростяваме. Косинус от θ се съкращава
с косинус от θ. Това 2 се съкращава с това 2. Този квадратен корен може
да изнесем пред интеграла. Остава ни само π върху квадратен
корен от 2, умножено по неопределен
интеграл от dθ. А това ще бъде равно просто
на π върху квадратен корен от 2, умножено
по θ плюс с. И сме почти готови. Просто следва да запишем израза
като функция на х. Вече знаем, че θ е равно на аркуссинус
от х върху 2. Можем да кажем, че този неопределен
интеграл, или примитивната
функция на този израз, ще бъде равна на π върху квадратен
корен от 2, умножено по аркуссинус от х
върху 2 плюс с. И сме готови! Някои хора биха оставили квадратен
корен от 2 в знаменателя. Ако искаш да го премахнеш,
можеш да умножиш тази дроб по квадратен корен от 2 върху
квадратен корен от 2, и това би опростило израза. Сега обаче ще оставя знаменателя в този ирационален вид. И ето това тук е
примитивната функция.