Още примери за интегриране чрез заместване и използване на функцията тангенс

Нека е даден неопределен интеграл от 1 върху 36 плюс х квадрат, dx. Решението на този интеграл не е лесно без да използваме тригонометрия. Не мога да използвам интегриране чрез заместване, защото нямам производната на този израз под интеграла. Това би било лесно, ако имах 2х в израза. Тогава виждам, че производната на този израз е 2х. Можеше да използвам интегриране със заместване. Но 2 по х не присъства в израза, така че какво да направя? Обръщам се към тригонометричните тъждества. Нека да видим кое от тях ще ни бъде полезно. Първото нещо, което правя, и начинът, по който разсъждавам, е когато видя константа плюс нещо на квадрат, да се досетя, че трябва да използвам тригонометрично тъждество. Но предпочитам да е във вида 1 плюс нещо на квадрат. Просто ще преобразувам интеграла по следния начин. Нека dx да е в числител. Тоест имаме просто по dx. Нека го запиша по-хубаво. Получава се интеграл от dx върху 36 по 1 плюс х квадрат върху 36. 1 плюс х квадрат върху 36 е само друг начин да представя интеграла. Нека видим дали някое от тригонометричните тъждества може да бъде заместено в този израз, и как това ще опрости задачата. Това, за което се досещам – и ако не го знаеш все още – ще го запиша като 1 плюс тангенс квадрат θ. Нека го докажем. Тангенс квадрат θ е равно на 1 плюс определението за тангенс, т.е. синус квадрат θ върху косинус квадрат θ. 1 е просто косинус квадрат върху косинус квадрат. Следователно това е равно на косинус квадрат θ върху косинус квадрат θ, което е 1, плюс синус квадрат θ върху косинус квадрат θ. Сега имаме общ знаменател. На какво е равно косинус квадрат плюс синус квадрат? Следва от определението за единична окръжност. Равно е на 1 върху косинус квадрат θ. Или казваме, че е равно на 1 върху косинус квадрат θ. 1 върху косинус е секанс (обратната функция на косинус). Следователно това е равно на секанс квадрат θ. Искаме да направим заместване, така че нека положим (заместим) този член тук да е равен на тангенс θ, или тангенс квадрат θ. Тогава този израз ще бъде равен на 1 плюс тангенс квадрат θ, което е равно на секанс квадрат θ. Може би това ще помогне за опростяване на уравнението. Ще кажем, че х квадрат върху 36, е равно на тангенс квадрат θ. Нека намерим квадратен корен от двете страни на уравнението. Получава се х върху 6 е равно на тангенс θ, или х е равно на 6 по тангенс θ. Ако намерим производната от двете страни спрямо θ, получаваме dx/dθ е равно на следното. А на какво е равна производната от тангенс θ? Мога да го изведа от тези основни равенства тук. Всъщност нека го направя за всеки случай. Производна от тангенс θ. Никога не е излишно да я изведем отстрани. Нека да е ето тук. Получава се 6 по производната от тангенс θ спрямо θ. Ето това трябва да намерим така, че нека го направим. Производната на тангенс θ, е същото като d/dθ от синус θ върху косинус θ. Това е производната на тангенс. Това е същото като производна спрямо θ от следното. Нека се преместя малко надясно. Не помня наизуст правилото за производна на частно. Споменах преди, че не е удобно. Имаме синус θ по косинус θ на минус първа степен. На какво е равно това? Може да кажем, че е равно на производната от първия израз, или първата функция, което е просто косинус θ. Записваме косинус θ, т.е. производната на синус от θ, умножено по втория израз. Умножено по косинус θ на минус първа. Поставих тези скоби и минус 1 извън тях, защото ако го поставя на косинуса ето тук, може да помислиш, че това е обратната функция на косинус, т.е. аркускосинус. Това е производната от синус, умножена по косинус, а сега искам да прибавя производната от косинус. Не само на косинус, а производната от косинус на минус първа. Равна е на минус 1 по косинус на минус втора от θ. Това е производната от външната функция по производната от вътрешната. Нека се преместя още надясно. Това е производната на външната функция. Ако косинус θ беше просто х, щяхме да имаме производна от х на минус първа е равно на минус 1 по х на минус втора. Сега умножаваме по производната на вътрешната функция. Тоест от косинус θ спрямо θ. Тоест по минус синус θ. Целия този израз умножаваме по синус θ. Производната на този член, което е записаното в зелено, умножено по първия израз. И на какво е равно това? Ето тези косинус θ, разделено на косинус θ, е равно на 1. След това имаме минус 1 и минус синус θ. Тогава се получава плюс тук. Какво ни остава? Синус квадрат, т.е. синус θ по синус θ, върху косинус квадрат θ. Следователно плюс синус квадрат θ върху косинус квадрат θ. Равно е на 1 плюс тангенс квадрат θ. На какво е равно 1 плюс тангенс квадрат θ? Току-що ти показах. Равно е на секанс квадрат θ. Следователно производната от тангенс θ е равна на секанс квадрат θ. От тук достигаме до следното. Хубаво е, когато се опрости израза. Следователно dx/dθ e равно на секанс квадрат θ. Искаме да намерим на какво е равно dx. Тогава умножаваме двете страни по dθ. Получава се 6 по секанс квадрат θ, dθ. На това е равно dx. Разбира се, накрая ще трябва да заместим обратно, т.е. следва да намерим и изразим θ. Това е сравнително лесно. Просто ще намерим аркустангенс от двете страни на уравнението. Получава се, че аркустангенс от х върху 6 е равно на θ. Ще се върнем към това по-късно. Тогава какво се получава за първоначалния интеграл? Първо в интеграла имаме dx. На какво е равно dx? На 6 по секанс квадрат θ, dθ. Всичко това върху този знаменател, който е 36 по 1 плюс тангенс квадрат θ. Знаем, че ето този израз е секанс квадрат θ. Показвали сме го множество пъти. Това е секанс квадрат θ в знаменател. Имаме секанс квадрат θ и в числител, така че се съкращават. Двата члена се съкращават. Тогава интегралът придобива вида 6/36, т.е. 1/6 по dθ. Което е равно на 1/6 по θ плюс С. Сега ще заместим обратно, като използваме този израз. θ е равно на аркустангенс от х върху 6. Примитивната функция на 1 върху 36 плюс х квадрат е равна на 1/6 по θ. А θ е просто равно на аркустангенс от х върху 6, плюс С. И сме готови! Този пример беше полезен.