Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 1
Урок 16: Тригонометрично заместване- Въведение в интегриране чрез заместване с използване на тригонометрични тъждества
- Заместване с x=sin(тита)
- Още задачи с интегриране чрез заместване с използване на тригонометрични тъждества
- Интегриране чрез заместване в комбинация с използване на тригонометрични тъждества (част 1)
- Интегриране чрез заместване в комбинация с използване на тригонометрични тъждества (част 2)
- Интегриране чрез заместване с използване на тригонометрични тъждества и допирателна
- Още примери за интегриране чрез заместване и използване на функцията тангенс
- Дълга задача с интегриране чрез заместване и тригонометрични тъждества
- Тригонометрично заместване
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Още примери за интегриране чрез заместване и използване на функцията тангенс
Още една практическа задача със заместване на х с tan(тита) в интеграл. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Нека е даден неопределен интеграл от 1 върху 36 плюс х квадрат, dx. Решението на този интеграл не е лесно без да използваме тригонометрия. Не мога да използвам интегриране чрез
заместване, защото нямам производната на този израз под
интеграла. Това би било лесно, ако имах 2х
в израза. Тогава виждам, че производната
на този израз е 2х. Можеше да използвам интегриране
със заместване. Но 2 по х не присъства в израза,
така че какво да направя? Обръщам се към тригонометричните
тъждества. Нека да видим кое от тях ще ни
бъде полезно. Първото нещо, което правя, и начинът,
по който разсъждавам, е когато видя константа плюс нещо на квадрат, да се досетя,
че трябва да използвам тригонометрично
тъждество. Но предпочитам да е във вида
1 плюс нещо на квадрат. Просто ще преобразувам интеграла
по следния начин. Нека dx да е в числител. Тоест имаме просто по dx. Нека го запиша по-хубаво. Получава се интеграл от dx
върху 36 по 1 плюс х квадрат върху 36. 1 плюс х квадрат върху 36 е само
друг начин да представя интеграла. Нека видим дали някое от
тригонометричните тъждества може да бъде заместено в този израз,
и как това ще опрости задачата. Това, за което се досещам – и ако
не го знаеш все още – ще го запиша като 1 плюс тангенс квадрат θ. Нека го докажем. Тангенс квадрат θ е равно на 1 плюс определението за тангенс,
т.е. синус квадрат θ върху косинус квадрат θ. 1 е просто косинус квадрат
върху косинус квадрат. Следователно това е равно на
косинус квадрат θ върху косинус квадрат θ, което е 1,
плюс синус квадрат θ върху косинус квадрат θ. Сега имаме общ знаменател. На какво е равно косинус квадрат
плюс синус квадрат? Следва от определението за единична
окръжност. Равно е на 1 върху косинус квадрат θ. Или казваме, че е равно на 1 върху
косинус квадрат θ. 1 върху косинус е секанс (обратната
функция на косинус). Следователно това е равно на
секанс квадрат θ. Искаме да направим заместване,
така че нека положим (заместим) този член тук да е равен на тангенс θ, или тангенс квадрат θ. Тогава този израз ще бъде равен
на 1 плюс тангенс квадрат θ, което е равно на секанс квадрат θ. Може би това ще помогне за
опростяване на уравнението. Ще кажем, че х квадрат върху 36, е равно на тангенс квадрат θ. Нека намерим квадратен корен от
двете страни на уравнението. Получава се х върху 6 е равно
на тангенс θ, или х е равно на 6 по тангенс θ. Ако намерим производната от двете
страни спрямо θ, получаваме dx/dθ е равно на следното.
А на какво е равна производната от тангенс θ? Мога да го изведа от тези основни равенства тук. Всъщност нека го направя за всеки
случай. Производна от тангенс θ. Никога не
е излишно да я изведем отстрани. Нека да е
ето тук. Получава се 6 по производната от тангенс θ спрямо θ. Ето това трябва да намерим така,
че нека го направим. Производната на тангенс θ,
е същото като d/dθ от синус θ върху косинус θ. Това е производната на тангенс. Това е същото като производна
спрямо θ от следното. Нека се преместя малко надясно. Не помня наизуст правилото за
производна на частно. Споменах преди, че не е удобно. Имаме синус θ по косинус θ на минус първа степен. На какво е равно това? Може да кажем, че е равно
на производната от първия израз, или първата функция, което е просто косинус θ. Записваме косинус θ, т.е. производната на синус от θ, умножено по втория
израз. Умножено по косинус θ на минус първа. Поставих тези скоби и минус 1
извън тях, защото ако го поставя на косинуса
ето тук, може да помислиш, че това е обратната
функция на косинус, т.е. аркускосинус. Това е производната от синус,
умножена по косинус, а сега искам да прибавя производната
от косинус. Не само на косинус, а производната
от косинус на минус първа. Равна е на минус 1 по косинус
на минус втора от θ. Това е производната от външната
функция по производната от вътрешната. Нека се преместя още надясно. Това е производната на външната
функция. Ако косинус θ беше просто х,
щяхме да имаме производна от х на минус първа е равно
на минус 1 по х на минус втора. Сега умножаваме по производната
на вътрешната функция. Тоест от косинус θ спрямо θ. Тоест по минус синус θ. Целия този израз умножаваме
по синус θ. Производната на този член, което е
записаното в зелено, умножено по първия израз. И на какво е равно това? Ето тези косинус θ, разделено
на косинус θ, е равно на 1. След това имаме минус 1 и минус
синус θ. Тогава се получава плюс тук. Какво ни остава? Синус квадрат, т.е. синус θ по синус θ, върху косинус квадрат θ. Следователно плюс синус квадрат θ
върху косинус квадрат θ. Равно е на 1 плюс тангенс квадрат θ. На какво е равно 1 плюс тангенс
квадрат θ? Току-що ти показах. Равно е на секанс квадрат θ. Следователно производната
от тангенс θ е равна на секанс квадрат θ. От тук достигаме до следното. Хубаво е, когато се опрости израза. Следователно dx/dθ e равно на секанс квадрат θ. Искаме да намерим на какво
е равно dx. Тогава умножаваме двете
страни по dθ. Получава се 6 по секанс
квадрат θ, dθ. На това е равно dx. Разбира се, накрая ще трябва да
заместим обратно, т.е. следва да намерим и изразим θ. Това е сравнително лесно. Просто ще намерим аркустангенс
от двете страни на уравнението. Получава се, че аркустангенс от х върху 6
е равно на θ. Ще се върнем към това по-късно. Тогава какво се получава за
първоначалния интеграл? Първо в интеграла имаме dx. На какво е равно dx? На 6 по секанс квадрат θ, dθ. Всичко това върху този знаменател, който е 36 по 1 плюс тангенс
квадрат θ. Знаем, че ето този израз е секанс
квадрат θ. Показвали сме го множество пъти. Това е секанс квадрат θ в знаменател. Имаме секанс квадрат θ и в числител,
така че се съкращават. Двата члена се съкращават. Тогава интегралът придобива вида 6/36, т.е. 1/6 по dθ. Което е равно на 1/6 по θ плюс С. Сега ще заместим обратно, като
използваме този израз. θ е равно на аркустангенс
от х върху 6. Примитивната функция на
1 върху 36 плюс х квадрат е равна на 1/6 по θ. А θ е просто равно на аркустангенс
от х върху 6, плюс С. И сме готови! Този пример беше полезен.