Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 1
Урок 16: Тригонометрично заместване- Въведение в интегриране чрез заместване с използване на тригонометрични тъждества
- Заместване с x=sin(тита)
- Още задачи с интегриране чрез заместване с използване на тригонометрични тъждества
- Интегриране чрез заместване в комбинация с използване на тригонометрични тъждества (част 1)
- Интегриране чрез заместване в комбинация с използване на тригонометрични тъждества (част 2)
- Интегриране чрез заместване с използване на тригонометрични тъждества и допирателна
- Още примери за интегриране чрез заместване и използване на функцията тангенс
- Дълга задача с интегриране чрез заместване и тригонометрични тъждества
- Тригонометрично заместване
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Въведение в интегриране чрез заместване с използване на тригонометрични тъждества
Въведение в интегриране чрез заместване с използване на тригонометрични тъждества.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Искаме да изчислим този неопределен интеграл тук. Имаме квадратен корен от 4 по минус х квадрат
в знаменателя. Може да опитаме със заместване
(полагане), но няма да опростим израза по подходящ начин. Тогава какво да използваме? Друго нещо, за което
да се досетиш, е, че изразът под корена
4 минус х квадрат прилича на нещо, което
се получава, ако използваме
питагоровата теорема. Например, ако търсим
един от катетите чрез питагоровата теорема. Ако хипотенузата е равна на 2, то имаме 2 квадрат, а другата страна е равна на х, т.е. имаме 2 квадрат
минус х квадрат. Този израз ще бъде равен
на търсения катет. Нека да използваме
тази идея. Имаме следното. Дадено е следното. Ако не се досетиш веднага
за тази идея, не се притеснявай. Действително аз също
не се досетих първия път, когато се сблъсках
с подобна задача. Нека е даден правоъгълен
триъгълник. Нека изобразим идеята,
която споменахме. Хипотенузата на правоъгълния
триъгълник е равна на 2. Хипотенузата има дължина 2. Равна е на 2, Избираме този катет, или всъщност ето този. Нека този катет, или нека последно
да е първия. Този катет тук има дължина
равна на х. Тоест тази страна
е равна на х. Малко е необичайно, защото обикновено асоциираме
тази страна с y, но нека да продължим така. Тази страна тук има дължина х. Тогава на какво ще бъде равна
основата ето тук? Тоест на какво ще е равен
този катет? Ако използваме
питагоровата теорема, ще получим, че е равна на квадратен корен от
хипотенузата на квадрат, т.е. 2 квадрат, което е равно на 4, минус другия катет на квадрат, което е минус х квадрат. Интересно е, че се получава
този израз, според интуицията или идеята,
която имахме, когато разглеждахме
дадения интеграл. Как обаче това ще ни помогне? Тук е моментът да използваме
тригонометрия. Нека означим ето този ъгъл тук да е равен на θ (тета). Тогава на какво ще бъде равно синус
от θ или косинус от θ, изразени чрез страните
на триъгълника? Нека проверим. Синус от θ е равно на срещуположния
катет върху хипотенузата. Равно е на х върху 2. Ако искаме да изразим х, то х е равно на 2 по синус от θ. Това е интересно. А на какво е равно
косинус от θ? Косинус от θ е равно на
прилежащия катет, т.е. квадратен корен от
4 минус х на квадрат, върху хипотенузата. Ако искаме да изразим
катета, то ще получим, че квадратен корен от 4 минус х квадрат,
ще бъде равно на хипотенузата по косинус от θ. И това е интересно. Ако х е равно на 2 по синус от θ, то целият този израз се опростява до 2 по косинус от θ. Това изглежда много интересно. Нека да направим това
полагане. Нека х е равно на 2 по синус от θ. Ако х е равно на 2 по синус от θ, то dx ще бъде равно на 2 по косинус от θ, dθ. И ако х е равно на 2 по синус от θ, то този израз на какво ще бъде равен? Е, вече го намерихме. Този израз е равен на 2
по косинус от θ. Този израз е равен
на следното. Нека го запиша с оранжево. Равно е на 2 по косинус от θ. Този израз е равен
на 2 по косинус от θ. Достигнахме до тези изрази, чрез правоъгълния триъгълник и определенията за тези
тригонометрични функции. А можехме да използваме
единичната окръжност, която е като допълнение
на тези дефиниции. А можеш да го направиш, ако забележиш, че след като
х е 2 по синус от θ, то можеш да използваш основното
тригонометрично тъждество, или тригонометричните тъждества, и щеше да получиш,
че целият този израз, ще се опрости до 2 по косинус от θ. Нека просто продължим напред и проверим дали можем да го
изчислим чрез това заместване. Получава се следният неопределен
интеграл. dx или 1 по dx ще бъде равно на 2 по косинус от θ, dθ. Нека го запиша. Получава се 2 по косинус от θ, а dθ ще го запиша ето тук. А на какво е равен знаменателят? Квадратен корен от 4
минус х квадрат? Това отново е равно на 2
по косинус от θ. Тоест тук имаме 2 по косинус от θ. Резултатът от заместването
е много приятен. 2 по косинус от θ върху
2 по косинус от θ, което е равно на 1. Изразът се опростява и се получава интеграл от dθ. И ако просто
го изчислим, ще получим направо θ плюс C. Това е много добре, но все още
не сме приключили. Искаме да намерим
неопределения интеграл като функция на х. Нека сега изразим х
от ето този израз. х е равно на 2 по косинус от θ. О, извинявай! х е равно
2 по синус от θ. х е равно на 2 по синус от θ. Нека разделим двете
страни на 2. х върху 2 е равно на синус от θ. Искаме да изразим θ. А θ е ъгълът, чийто синус е равен на х върху 2. Нека да продължим. Осигурявам си малко
повече място. θ е равно на обратната функция на синус, или синус на минус първа степен от х върху 2. Може да го запишем така, а може да го запишем и като θ е равно на аркус синус. Аркус синус от х върху 2. Тогава получаваме, че θ е равно на аркус синус
от х върху 2. Нека го запишем. Аркус синус от х върху 2 плюс С. И сме готови! Току-що изчислихме дадения
неопределен интеграл. Може би забеляза нещо. Донякъде преминах наистина бързо през задачата, за да си представиш общата идея, или картина. Но тук има и някои интересни
детайли, на които си струва да отделим малко повече внимание. Първото нещо, което може би
забелязваш, е, че х е ограничен, т.е. дефиниционното множество
за х в този израз е ограничено. Нека да проследим това, за да се уверим, че не сме
нарушили това, когато направихме това полагане. Според дефиниционното множество
х следва да бъде по-голямо от минус 2 и по-малко от 2. Ако абсолютната стойност на х
е равна на 2, то ще имаме 0 в знаменателя. Ако абсолютната стойност на х
е по-голяма от 2, то ще се получи отрицателно
число в знаменателя, което не е допустимо. Следователно това тук
е дефиниционното множество. Нека се уверим, че с полагането,
което използвахме, не сме го нарушили. х приема стойности между
минус 2 и 2. След като х е равно на 2 по синус от θ, това означава, че 2 по синус от θ
следва да бъде между минус 2 и 2. Минус 2 следва да е по-малко от 2 по синус от θ. 2 по синус от θ. А това следва да е по-малко от 2. Може да разделим всички страни на това сложно неравенство на 2. Получаваме, че минус 1
е по-малко от синус от θ, По-малко от синус от θ, което е по-малко от 1. За да е изпълнено това,
следва θ да е по-малко от π/2. За π/2 синус от θ ще бъде равно на 1, θ следва и да е по-голямо
от минус π/2. Следователно по този начин, т.е. ако кажем, че θ принадлежи на този интервал тук, то имаме подходящо
дефиниционно множество. Това е добър резултат, защото
обикновено това е интервалът
на функцията аркус синус. Тогава може да сме спокойни
за крайния отговор. Друго важно нещо, което
да забележиш, е, че разделихме на косинус от θ ето тук. Това обаче
е допустимо, само ако косинус от θ
е различно от 0, защото 0 не може да е
в знаменател. Хубавото на това дефиниционно
множество е, че доколкото θ е по-голямо от минус π/2 и по-малко от π/2, то косинус от θ ще бъде различно от 0, и дори ще бъде положителна стойност. Ако π/2 или минус π/2 бяха
допустими за θ, то щеше да се получи 0
ето тук в знаменател и следваше да намерим друг начин да ограничим
стойностите за θ. Следователно изглежда,
че всичко е наред. Разгледахме подробно задачата. Уверихме се, че не сме направили нарушение на дефиниционното
множество, или нещо друго недопустимо. Следователно може да сме спокойни, т.е. може да сме сигурни в отговора, до който достигнахме. За ето този отговор, който получихме.