Интегриране чрез заместване в комбинация с използване на тригонометрични тъждества (част 1)

Нека опитаме да намерим примитивната функция на неопределен интеграл от х на трета, умножено по квадратен корен от 9 минус х на квадрат, dx. Можеш да се опиташ да използваш интегриране чрез заместване, но ще откриеш, че няма да те отведе далеч. Тук имаме нещо, което ни подсказва. Имаме израз от вида 9 минус х на квадрат, което може да се разглежда като 3 на квадрат минус х на квадрат. А всеки път, когато имаш израз от вида а на квадрат минус х на квадрат, може да бъде полезно да направиш заместването х е равно на а по синус от θ (тета). Защо да го направим така? Тогава а на квадрат минус х на квадрат ще се получи а квадрат минус а квадрат по синус квадрат от θ, което е същото като а на квадрат, умножено по 1 минус синус квадрат от θ. Предполагам, че разбираш какво ще се получи. Равно е на а на квадрат по косинус квадрат от θ, което може да бъде полезно опростяване. Нека да го приложим ето тук. В този случай а е равно на 3. Нека направим заместване, в което х ще бъде равно на а по синус от θ, т.е. 3 по синус от θ. Сега следва също да намерим на какво ще бъде равно dx. Ако намерим производната, ще получим dx. Може да имаме dx dθ е равно на 3 по косинус от θ. И ако искаме да го запишем в диференциална форма, то може да запишем, че dx е равно на 3 по косинус от θ, dθ. Този израз е просто производната на ето този спрямо θ. Готови сме да заместим обратно. Първоначалния израз ще придобие следния вид. Ще използвам същия зелен цвят – 3 по синус θ на трета степен, което е равно на 27 по следното. Нека да го отделя с друг цвят, за да е ясно кое какво означава. Този израз ето тук, т.е. х на трета, ще стане 27 по синус на трета от θ. Или синус от θ на трета степен. И тогава целият този израз, който е квадратен корен от 9 минус х на квадрат ще стане 9 минус 9 по синус квадрат от θ. След това имаме dx. Нека го запиша с нов цвят. Ето тук е. Ще бъде равно на следното. Това обаче не е нов цвят. dx ще бъде равно на целия този израз. Тоест 3 по косинус θ, dθ. Нека проверим дали може да опростим малко този израз. Нека го изнеса отстрани. Този израз може да се представи като 9 по 1 минус синус квадрат от θ, което е равно на квадратен корен от 9 по косинус на квадрат от θ. Може да приемем, че косинус от θ е положителна стойност, както направихме в предния урок. Тогава получаваме, че е равно на 3 по косинус от θ. Следователно този израз тук е равен на 3 по косинус от θ. Тогава какъв е резултатът от опростяването? Имаме 27 по 3, което е равно на 81. Умножено по 3 е равно на 243. Получава се 243, което ще изнеса пред интеграла, умножено по следния интеграл. Ще се получи синус на трета от θ. След това имаме косинус от θ по косинус от θ, което е равно на косинус квадрат от θ. Това е този член ето тук и този член ето там. Разбира се имаме и dθ. Мисля, че се погрижих за всички членове. Може да изглежда, че не съм го опростил много, защото все още не изглежда като много лесна задача за решение, но се приближаваме все по-близо. Сега изразът се превърна в класическа задача за заместване. Все още обаче не е очевидно. Има още една техника, която да приложим първо. Как да използваме интегриране със заместване тук? Ключовото нещо, когато имаш тригонометрични функции на степен – особено, когато една от тях е на нечетна степен – е, че искаш да отделиш една от тази нечетна степен, така че да преобразуваш израза в удобен вид за заместване. Нека го направим. Получава се 243 по интеграл от синус на трета от θ. Следва синус от θ, но всъщност нека го запиша по следния начин. Синус квадрат от θ по косинус квадрат от θ. Все още имаме 1 по синус от θ ето тук, dθ. Това, което правя е опит да преобразувам израза в нещо, където може да се приложи интегриране чрез заместване. Както можеш да си представиш, може би du ще е изразено чрез синус от θ, dθ. Това ще стане, ако избера u да е равно на косинус от θ. Тогава du ще бъде равно на минус синус от θ, dθ. Нека проверя дали мога да го направя. Ако положа (заместя) синус квадрат от θ да е равно на 1 минус косинус квадрат от θ, то целият израз ще стане 243 по интеграл от 1 минус косинус квадрат от θ по косинус квадрат от θ, умножено по синус от θ dθ. Искам да стане напълно ясно какво направих тук. Използвахме заместване с тригонометрична функция, за стигнем до този вид ето тук. В тази стъпка изнесох един синус от θ, отделих го ето тук, след което преобразувах израза във функция на косинус θ. Причината да го направя така, е, че сега имаме функция на косинус от θ и в същото време имаме нещо, което прилича на производната на косинус от θ ето тук. Ето сега вече този израз е готов за интегриране чрез заместване. Нека интегрираме чрез заместване. Ако имам функция от един израз, а след това производната на израза, то може би u следва да е равно на този израз. Нека положим u да е равно на косинус от θ. Тогава du ще бъде равно на минус синус от θ dθ. Е, ето тук имаме синус от θ dθ. Можем да умножим това по минус 1, стига също да изнесем един минус пред интеграла. Умножаваме два пъти по минус 1. Тоест не променяме стойността на израза. Забележи сега, че този израз тук е равен на du, а този ето тук е функция на u. Нека го запиша по този начин. Целият този израз ще бъде равен на минус 243 по интеграл от 1 минус u на квадрат по u на квадрат. Тогава този израз тук е равен на du. Тоест получава се просто du. Сега този израз се решава сравнително лесно. Сега можем просто да умножим, като разкрием скобите. Ще се получи минус 243 или минус 243, по неопределен интеграл от u на квадрат, минус u на четвърта. Просто умножаваме по u на квадрат. И остава du. За този израз вече е сравнително лесно да намерим примитивната функция. Получава се минус 243 по примитивната функция на u на квадрат, т.е. u на трета върху 3. Примитивната функция на u на четвърта е равно на u на пета върху 5. Разбира се, ще има и една константа C ето тук. За да премахнем този минус ето тук, може да разменим реда на членовете. Можем да умножим с този минус пред скоби. Тогава този израз ще стане с минус, А този ще стане с плюс. Получава се целия този израз да е равен на 243 по u на пета върху 5 минус u на трета върху 3, плюс C. Може би ще кажеш, че най-накрая сме приключили. Но все още не сме. Имаме всичко, изразено чрез u, докато първоначалният интеграл е функция на х. В следващия урок ще заместим обратно положените изрази. Ще вземем този израз ето тук и ще го запишем като функция на х. Следователно ще трябва да преминем от u към θ, към х, защото направихме заместване два пъти.