Интегриране чрез заместване в комбинация с използване на тригонометрични тъждества (част 2)

В предния урок, за да изчислим този неопределен интеграл първо направихме заместването, че х е равно на 3 по синус от θ. Това доведе до интеграл от този вид. След това успяхме да разложим тези синус и косинус на степен и да използваме тригонометричните тъждества, за да достигнем до удобен вид за интегриране чрез заместване. Направихме още едно заместване, където избрахме u да е равно на косинус от θ. Накрая успяхме да приведем израза в удобен вид, за да използваме интегрирането чрез заместване още веднъж. Точно това е интегриране чрез заместване. Успяхме да го преобразуваме във вид, където можем действително да намерим примитивната функция. Получихме крайния резултат ето тук като функция на u. Сега обаче следва да се върнем и да заместим всичко обратно. Следва да направим обратно заместване. Последното заместване, което направихме – защото сега следва да се върнем по обратния ред – беше, че u е равно на косинус от θ. Тоест можем да заместим u с косинус от θ ето тук. Тогава обаче ще имаме всичко, изразено чрез косинус от θ, което все още не е функция на х. Най-подходящо е ако можем по някакъв начин да изразим u чрез х. Нека помислим как може да стане. Знаем, че u е равно на косинус от θ. Знаем каква е връзката между х и θ, записана ето тук. х е равно на 3 по синус от θ. Нека запишем това ето тук. Знаем следното за х. Нека го запиша ето тук. Знаем, че х е равно на 3 по синус от θ. Търсим да достигнем до косинус по някакъв начин. Нека го запиша малко по-различно. Може да запишем също, че х върху 3 е равно на синус от θ Просто разделих двете страни на 3. Ако може да представим този член чрез синус от θ, то може да заместим х върху 3 на мястото на всички синус от θ, и сме готови. А как да направим това? Ще ти покажа два метода за изпълнението му. Първият е да разберем, че u е равно на косинус от θ. Ако искам да го представя чрез синус от θ, мога просто да кажа, че е равно на нещо, което следва направо от основното тригонометрично тъждество. Косинус от θ е равно на квадратен корен от 1 минус синус квадрат от θ. Знаем, че синус от θ е равно на х върху 3. Тогава тук се получава квадратен корен от 1 минус х върху 3, на квадрат. Това е u, изразено чрез х. Следователно там, където присъства u, може да го заменим с този израз. И действително сме готови. Можем запишем ето този израз, изразен чрез х. Има и друг метод, който понякога можеш да видиш в час по анализ. Знаем, че u е равно на косинус от θ. Знаем ето тази зависимост. Как може да изразим u чрез х? Нека начертаем един правоъгълен триъгълник. Чертаем правоъгълен триъгълник ето така. След това се връщаме към равенството синус от θ е равно на х върху 3. Тогава, ако този ъгъл тук е θ, то синус от θ е същото като срещуположния катет върху хипотенузата. Срещуположният катет върху хипотенузата е равно на х върху 3. Нека този катет да е х, а хипотенузата 3. Следователно този синус от θ е равен на х върху 3. Разглеждаме първото заместване ето тук. За да изразим обаче u чрез х, следва първо да намерим косинус от θ. Косинус е равно на прилежащия катет върху хипотенузата. Тогава трябва да намерим на какво е равен прилежащия катет. За целта можем просто да използваме питагоровата теорема. Питагоровата теорема гласи, че тази страна ще бъде равна на квадратен корен от хипотенузата на квадрат, което е равно на 9, минус другия катет на квадрат, т.е. минус х на квадрат. Следователно напълно изразихме елементите на този триъгълник чрез х. Можем да направим извод, че косинус от θ ще бъде равно на прилежащия катет, т.е. квадратен корен от 9 минус х на квадрат, върху хипотенузата, т.е. върху 3. Това е същото като 1/3 по квадратен корен от 9 минус х квадрат. Това е същото нещо като да повдигнем 1/3 на квадрат и да го внесем под корена. Тогава повдигаме на квадрат 1/3, т.е. това е същото като квадратен корен от 1/9. Следователно може да запишем равно на квадратен корен от 1/9 по 9 минус х квадрат. Действително просто внесохме 1/3 под корена. Сега е равно на 1/9. Това ще бъде равно на същото като квадратен корен от 1 минус х квадрат върху 9, което е точно този член ето тук. х квадрат върху 9 е равно на х върху 3, на квадрат. И двата метода водят до един и същи резултат. Смятам, че от тригонометричното тъждество ето тук – да изразя косинус от θ чрез синус от θ – и след това да направя заместването, е малко по-лесно. Сега обаче може просто да заместим в първоначалния израз. Независимо кой от двата метода използваме. Този израз е същото нещо като 1 минус х квадрат върху 9 на степен 1/2. Това е равно на u. Тогава навсякъде, където присъства u, просто заместваме с този израз. Следователно крайният резултат, изразен чрез х, ще бъде равен на 243 по u на пета степен, т.е. това на пета степен върху 5. Равно е на 1 минус х на квадрат върху 9. На степен 1/2 е, но след повдигане на пета степен ще бъде на степен 5/2. Върху 5 минус ето този израз на трета степен, т.е. 1 минус х квадрат върху 9, на степен 3/2, т.е повдигаме това на трета степен, върху 3. И към всичко това прибавяме С. И сме готови! Сложен израз, в който използвахме първо тригонометрично тъждество, после интегриране чрез заместване или заместване с тригонометрична функция, а след това преобразуване на израза чрез няколко метода. Представихме тези степени на тригонометричните функции така, че да можем да приложим интегриране чрез заместване. Накрая успяхме да заместим обратно положените изрази, за да можем да изчислим и получим неопределения интеграл.