Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 1
Урок 13: Интегриране чрез заместване- Интегриране чрез заместване: въведение
- Интегриране чрез заместване: умножение с константа
- Интегриране чрез заместване: дефиниране на 𝘶
- Интегриране чрез заместване: дефиниране на 𝘶 (примери)
- Интегриране чрез заместване
- Интегриране чрез заместване: дефиниране на 𝘶
- Интегриране чрез заместване: рационална функция
- Интегриране чрез заместване: логаритмична функция
- Интегриране чрез заместване: упражнения за затвърдяване
- Интегриране чрез заместване: неопределен интеграл
- Интегриране чрез заместване: определен интеграл
- Интегриране чрез заместване на определени интеграли
- Интегриране чрез заместване: определен интеграл
- Интегриране чрез заместване: определен интеграл от показателна функция
- Интегриране чрез заместване: специално приложение
- Интегриране чрез заместване: двойно заместване
- Интегриране чрез заместване: по-сложно приложение
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Интегриране чрез заместване
Интегрирането чрез заместване всъщност обръща правилото за диференциране на сложна функция. С други думи, помага ни за интегриране на сложни функции.
Когато търсим примитивни функции, ние всъщност извършваме "обратно диференциране." Някои случаи са доста очевидни. Например знаем, че производната на е , следователно . Можем да използваме този подход и с други основни функции като , , и други.
Други случаи, обаче, не са толкова прости. Например на колко е равно ? Подсказка: не е . Опитай се да диференцираш това и ще видиш защо.
Един метод, който може да бъде много полезен, е заместването, което по същество прилага наобратно правилото за диференциране на сложна функция.
Интегриране чрез заместване при неопределен интеграл
Представи си, че трябва да решим . Забележи, че е производната на , което е "вътрешната" функция в тази сложна функция . С други думи, замествайки и , получаваме:
Това ни подсказва, че трябва да заместим. Нека видим как става.
Първо диференцираме уравнението спрямо , като разглеждаме като неявна функция на .
В последния ред умножихме уравнението по и изолирахме . Това е малко нестандартно, но ще е полезно за следващата ни стъпка. Имаме и . Сега можем да извършим заместване в интеграла:
След заместването ни остава израз за примитивната функция на спрямо . Колко удобно! е основна функция, следователно можем да намерим нейната примитивна функция по лесен начин. Единственото, което остава да направим, е да върнем функцията да е спрямо :
В заключение, е . Можеш да диференцираш , за да се увериш, че това е вярно.
Ключов извод #1: Заместването е просто прилагане на обратно на правилото за диференциране на сложна функция:
- Според правилото за диференциране на сложна функция производната на
е . - При заместването взимаме израз от вида
и намираме неговата примитивна функция .
Ключов извод #2: Заместването ни помага при опростяването на сложни изрази, като превръщаме "вътрешната" функция в променлива.
Често срещана грешка: получаване на грешни изрази за или
Избирането на грешен израз за ще доведе до грешен отговор. Например в упражнение 1 трябва да се дефинира като . Определянето на като или , никога няма да проработи.
Запомни: За да можем да заместваме, трябва да можем да запишем подинтегралната функция като . Тогава трябва да се дефинира като вътрешната функция на сложната функция.
Друга важна стъпка в този процес е решаването на . Увери си, че диференцираш правилно , защото грешен израз за ще доведе до грешен отговор.
Често срещана грешка: да не осъзнаеш, че трябва да заместиш
Запомни: Когато интегрираме сложна функция, не можем просто да сметнем примитивната функция на външната функция. Трябва първо да заместим.
Ако е примитивна функция на , тази точка може математически да се изрази като:
Друга често срещана грешка: да объркаш вътрешната функция и производната ѝ
Да си представим, че решаваш . Може да кажеш, че "тъй като е производната на , можем да използваме заместване." Всъщност, тъй като при заместването се взима производната на вътрешната функция, трябва да е производната на , за да проработи заместването. Тъй като не е така, не можем да заместим.
Понякога трябва да умножим/разделим интеграла с константа.
Представи си, че трябва да решим . Забележи, че тъй макар и да имаме сложна функция , тя не е умножена по нищо. Това може да изглежда странно в началото, но нека продължим и да видим какво ще стане.
Ако , тогава . Сега заместваме в интеграла, но не преди да извършим тази хитра операция:
Видя ли какво направихме? За да имаме като подинтегрална функция, умножихме целия интеграл по . Това ни позволява да заместим, като в същото време запазваме стойността на интеграла.
Нека продължим със заместването:
Ключов извод: Понякога трябва да умножим или разделим целия интеграл с константа, за да получим подходящ израз за заместване, без да променяме стойността на интеграла.
Искаш ли да се упражняваш още? Пробвай това упражнение.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.