Основно съдържание

Интегрално смятане

Курс: Интегрално смятане > Раздел 1

Урок 13: Интегриране чрез заместване

Интегриране чрез заместване

Интегрирането чрез заместване всъщност обръща правилото за диференциране на сложна функция. С други думи, помага ни за интегриране на сложни функции.

Когато търсим примитивни функции, ние всъщност извършваме "обратно диференциране." Някои случаи са доста очевидни. Например знаем, че производната на

x^{2}

2 x

, следователно

\int 2 x d x = x^{2} + C

. Можем да използваме този подход и с други основни функции като

\sin (x)

e^{x}

\frac{1}{x}

и други.

Други случаи, обаче, не са толкова прости. Например на колко е равно

\int \cos (3 x + 5) d x

? Подсказка: не е

\sin (3 x + 5) + C

. Опитай се да диференцираш това и ще видиш защо.

[Покажи ми.]

Един метод, който може да бъде много полезен, е заместването, което по същество прилага наобратно правилото за диференциране на сложна функция.

Интегриране чрез заместване при неопределен интеграл

Представи си, че трябва да решим

\int 2 x \cos (x^{2}) d x

. Забележи, че

2 x

е производната на

x^{2}

, което е "вътрешната" функция в тази сложна функция

\cos (x^{2})

. С други думи, замествайки

u (x) = x^{2}

w (x) = \cos (x)

, получаваме:

\overset{u^{'}}{\overset{⏞}{2 x}} \underset{w}{\underset{⏟}{\cos (\overset{u}{\overset{⏞}{x^{2}}})}} = u^{'} (x) w (u (x))

Това ни подсказва, че трябва да заместим. Нека видим как става.

Първо диференцираме уравнението

u = x^{2}

спрямо

x

, като разглеждаме

u

като неявна функция на

x

\begin{aligned} u & = x^{2} \\ \frac{d}{d x} [u] & = \frac{d}{d x} [x^{2}] \\ \frac{d u}{d x} & = 2 x \\ d u & = 2 x d x \end{aligned}

В последния ред умножихме уравнението по

d x

и изолирахме

d u

. Това е малко нестандартно, но ще е полезно за следващата ни стъпка. Имаме

u = x^{2}

d u = 2 x d x

. Сега можем да извършим заместване в интеграла:

\begin{aligned} \int 2 x \cos (x^{2}) d x \\ = \int \cos (\underset{u}{\underset{⏟}{x^{2}}}) \underset{d u}{\underset{⏟}{2 x d x}} & Преобразуване. \\ = \int \cos (u) d u & Заместване. \end{aligned}

След заместването ни остава израз за примитивната функция на

\cos (u)

спрямо

u

. Колко удобно!

\cos (u)

е основна функция, следователно можем да намерим нейната примитивна функция по лесен начин. Единственото, което остава да направим, е да върнем функцията да е спрямо

x

\begin{aligned} \int \cos (u) d u \\ = \sin (u) + C \\ = \sin (x^{2}) + C \end{aligned}

В заключение,

\int 2 x \cos (x^{2}) d x

\sin (x^{2}) + C

. Можеш да диференцираш

\sin (x^{2}) + C

, за да се увериш, че това е вярно.

Ключов извод #1: Заместването е просто прилагане на обратно на правилото за диференциране на сложна функция:

Според правилото за диференциране на сложна функция производната на $w (u (x))$ ‍ е $w^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ ‍.
При заместването взимаме израз от вида $w^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)$ ‍ и намираме неговата примитивна функция $w (u (x))$ ‍.

Ключов извод #2: Заместването ни помага при опростяването на сложни изрази, като превръщаме "вътрешната" функция в променлива.

Задача 1.а

Упражнение 1 ще те преведе през всички стъпки за решаване на следния интеграл чрез заместване.

\int (6 x^{2}) (2 x^{3} + 5)^{6} d x = ?

Как да дефинираме $u$ ‍?

Често срещана грешка: получаване на грешни изрази за $u$ ‍ или $d u$ ‍

Избирането на грешен израз за

u

ще доведе до грешен отговор. Например в упражнение 1

u

трябва да се дефинира като

2 x^{3} + 5

. Определянето на

u

като

6 x^{2}

или

(2 x^{3} + 5)^{6}

, никога няма да проработи.

Запомни: За да можем да заместваме, трябва да можем да запишем подинтегралната функция като

w (u (x)) \cdot u^{'} (x)

. Тогава

u

трябва да се дефинира като вътрешната функция на сложната функция.

Друга важна стъпка в този процес е решаването на

d u

. Увери си, че диференцираш правилно

u

, защото грешен израз за

d u

ще доведе до грешен отговор.

Задача 2

Тим трябва да реши

\int \cos (5 x - 7) d x

. Това е неговото решение:

\int \cos (5 x - 7) d x = \sin (5 x - 7) + C

Вярно ли е решението на Тим? Ако не е, каква е неговата грешка?

(Избор А)
Решението на Тим е вярно.
(Избор Б)
Решението на Тим е грешно. Примитивната функция на $\cos (x)$ ‍ не е $\sin (x)$ ‍.
(Избор В)
Решението на Тим е грешно. Той е пренебрегнал факта, че $\cos (5 x - 7)$ ‍ е сложна функция.
(Избор Г)
Решението на Тим е грешно. Не трябва да се добавя константа $C$ ‍, когато се решава неопределен интеграл.

Често срещана грешка: да не осъзнаеш, че трябва да заместиш

Запомни: Когато интегрираме сложна функция, не можем просто да сметнем примитивната функция на външната функция. Трябва първо да заместим.

Ако

W

е примитивна функция на

w

, тази точка може математически да се изрази като:

\int w (u (x)) d x \neq W (u (x)) + C

Друга често срещана грешка: да объркаш вътрешната функция и производната ѝ

Да си представим, че решаваш

\int x^{2} \cos (2 x) d x

. Може да кажеш, че "тъй като

2 x

е производната на

x^{2}

, можем да използваме заместване." Всъщност, тъй като при заместването се взима производната на вътрешната функция,

x^{2}

трябва да е производната на

2 x

, за да проработи заместването. Тъй като не е така, не можем да заместим.

Понякога трябва да умножим/разделим интеграла с константа.

Представи си, че трябва да решим

\int \sin (3 x + 5) d x

. Забележи, че тъй макар и да имаме сложна функция

\sin (3 x + 5)

, тя не е умножена по нищо. Това може да изглежда странно в началото, но нека продължим и да видим какво ще стане.

Ако

u = 3 x + 5

, тогава

d u = 3 d x

. Сега заместваме

u

в интеграла, но не преди да извършим тази хитра операция:

\int \sin (3 x + 5) d x = \frac{1}{3} \int \sin (3 x + 5) 3 d x

Видя ли какво направихме? За да имаме

3 d x

като подинтегрална функция, умножихме целия интеграл по

\frac{1}{3}

. Това ни позволява да заместим, като в същото време запазваме стойността на интеграла.

Нека продължим със заместването:

\begin{aligned} \frac{1}{3} \int \sin (\underset{u}{\underset{⏟}{3 x + 5}}) \underset{d u}{\underset{⏟}{3 d x}} \\ = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u \\ = - \frac{1}{3} \cos (u) + C \\ = - \frac{1}{3} \cos (3 x + 5) + C \end{aligned}

Ключов извод: Понякога трябва да умножим или разделим целия интеграл с константа, за да получим подходящ израз за заместване, без да променяме стойността на интеграла.

Задача 3

\int (2 x + 7)^{3} d x = ?

Искаш ли да се упражняваш още? Пробвай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.