Основно съдържание

Интегрално смятане

Курс: Интегрално смятане > Раздел 1

Урок 13: Интегриране чрез заместване

Интегриране чрез заместване

Интегрирането чрез заместване всъщност обръща правилото за диференциране на сложна функция. С други думи, помага ни за интегриране на сложни функции.

Когато търсим примитивни функции, ние всъщност извършваме "обратно диференциране." Някои случаи са доста очевидни. Например знаем, че производната на start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54 е start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, следователно integral, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, d, x, equals, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, plus, C. Можем да използваме този подход и с други основни функции като sine, left parenthesis, x, right parenthesis, e, start superscript, x, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, end fraction и други.

Други случаи, обаче, не са толкова прости. Например на колко е равно integral, cosine, left parenthesis, 3, x, plus, 5, right parenthesis, d, x? Подсказка: не е sine, left parenthesis, 3, x, plus, 5, right parenthesis, plus, C. Опитай се да диференцираш това и ще видиш защо.

[Покажи ми.]

Един метод, който може да бъде много полезен, е заместването, което по същество прилага наобратно правилото за диференциране на сложна функция.

Интегриране чрез заместване при неопределен интеграл

Представи си, че трябва да решим integral, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab. Забележи, че start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab е производната на start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, което е "вътрешната" функция в тази сложна функция start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10. С други думи, замествайки start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #1fab54 и start color #e07d10, w, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, получаваме:

start color #7854ab, start overbrace, 2, x, end overbrace, start superscript, u, prime, end superscript, end color #7854ab, start color #e07d10, start underbrace, cosine, left parenthesis, start color #1fab54, start overbrace, x, squared, end overbrace, start superscript, u, end superscript, end color #1fab54, right parenthesis, end underbrace, start subscript, w, end subscript, end color #e07d10, equals, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab, start color #e07d10, w, left parenthesis, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, right parenthesis, end color #e07d10

Това ни подсказва, че трябва да заместим. Нека видим как става.

Първо диференцираме уравнението start color #1fab54, u, equals, x, squared, end color #1fab54 спрямо x, като разглеждаме u като неявна функция на x.

\begin{aligned} u&=x^2 \\\\ \dfrac{d}{dx}[u]&=\dfrac{d}{dx}[x^2] \\\\ \dfrac{du}{dx}&=2x \\\\ \purpleD{du}&\purpleD{=2x\,dx} \end{aligned}

В последния ред умножихме уравнението по d, x и изолирахме d, u. Това е малко нестандартно, но ще е полезно за следващата ни стъпка. Имаме start color #1fab54, u, equals, x, squared, end color #1fab54 и start color #7854ab, d, u, equals, 2, x, d, x, end color #7854ab. Сега можем да извършим заместване в интеграла:

\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int \purpleD{2x}\goldD{\cos(}\greenD{x^2}\goldD )\,\purpleD{dx} \\\\ &=\displaystyle\int \goldD{\cos(\greenD{\underbrace{x^2}_{u}})}\purpleD{\underbrace{2x\,dx}_{du}}&\gray{\text{Преобразуване.}} \\\\ &=\displaystyle\int \goldD{\cos(}\greenD{u}\goldD )\purpleD{\,du}&\gray{\text{Заместване.}} \end{aligned}

След заместването ни остава израз за примитивната функция на start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10 спрямо u. Колко удобно! cosine, left parenthesis, u, right parenthesis е основна функция, следователно можем да намерим нейната примитивна функция по лесен начин. Единственото, което остава да направим, е да върнем функцията да е спрямо x:

\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int \goldD{\cos(}\greenD{u}\goldD )\,du \\\\ &=\sin(\greenD u)+C \\\\ &=\sin(\greenD{x^2})+C \end{aligned}

В заключение, integral, 2, x, cosine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, d, x е sine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, plus, C. Можеш да диференцираш sine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, plus, C, за да се увериш, че това е вярно.

Ключов извод #1: Заместването е просто прилагане на обратно на правилото за диференциране на сложна функция:

Според правилото за диференциране на сложна функция производната на start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10 е start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab.
При заместването взимаме израз от вида start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab и намираме неговата примитивна функция start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10.

Ключов извод #2: Заместването ни помага при опростяването на сложни изрази, като превръщаме "вътрешната" функция в променлива.

Задача 1.а

Електричен ток

Упражнение 1 ще те преведе през всички стъпки за решаване на следния интеграл чрез заместване.

integral, left parenthesis, 6, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, cubed, plus, 5, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript, d, x, equals, question mark

Как да дефинираме u?

(Избор А)
u, equals, 2, x, cubed, plus, 5
(Избор Б)
u, equals, left parenthesis, 2, x, cubed, plus, 5, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript
(Избор В)
u, equals, 6, x, squared
(Избор Г)
u, equals, x, start superscript, 6, end superscript

Често срещана грешка: получаване на грешни изрази за u или d, u

Избирането на грешен израз за u ще доведе до грешен отговор. Например в упражнение 1 u трябва да се дефинира като 2, x, cubed, plus, 5. Определянето на u като 6, x, squared или left parenthesis, 2, x, cubed, plus, 5, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript, никога няма да проработи.

Запомни: За да можем да заместваме, трябва да можем да запишем подинтегралната функция като start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab. Тогава u трябва да се дефинира като вътрешната функция на сложната функция.

Друга важна стъпка в този процес е решаването на d, u. Увери си, че диференцираш правилно u, защото грешен израз за d, u ще доведе до грешен отговор.

Задача 2

Тим трябва да реши integral, cosine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, d, x. Това е неговото решение:

integral, cosine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, d, x, equals, sine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, plus, C

Вярно ли е решението на Тим? Ако не е, каква е неговата грешка?

(Избор А)
Решението на Тим е вярно.
(Избор Б)
Решението на Тим е грешно. Примитивната функция на cosine, left parenthesis, x, right parenthesis не е sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
(Избор В)
Решението на Тим е грешно. Той е пренебрегнал факта, че cosine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis е сложна функция.
(Избор Г)
Решението на Тим е грешно. Не трябва да се добавя константа C, когато се решава неопределен интеграл.

Често срещана грешка: да не осъзнаеш, че трябва да заместиш

Запомни: Когато интегрираме сложна функция, не можем просто да сметнем примитивната функция на външната функция. Трябва първо да заместим.

Ако W е примитивна функция на w, тази точка може математически да се изрази като:

integral, w, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, d, x, does not equal, W, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, plus, C

Друга често срещана грешка: да объркаш вътрешната функция и производната ѝ

Да си представим, че решаваш integral, x, squared, cosine, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, d, x. Може да кажеш, че "тъй като 2, x е производната на x, squared, можем да използваме заместване." Всъщност, тъй като при заместването се взима производната на вътрешната функция, x, squared трябва да е производната на 2, x, за да проработи заместването. Тъй като не е така, не можем да заместим.

Понякога трябва да умножим/разделим интеграла с константа.

Представи си, че трябва да решим integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab. Забележи, че тъй макар и да имаме сложна функция start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, тя не е умножена по нищо. Това може да изглежда странно в началото, но нека продължим и да видим какво ще стане.

Ако start color #1fab54, u, equals, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, тогава start color #7854ab, d, u, equals, 3, d, x, end color #7854ab. Сега заместваме u в интеграла, но не преди да извършим тази хитра операция:

integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, 3, d, x, end color #7854ab

Видя ли какво направихме? За да имаме start color #7854ab, 3, d, x, end color #7854ab като подинтегрална функция, умножихме целия интеграл по start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. Това ни позволява да заместим, като в същото време запазваме стойността на интеграла.

Нека продължим със заместването:

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac13\displaystyle\int\goldD{\sin(\greenD{\underbrace{3x+5}_u})}\purpleD{\underbrace{3\,dx}_{du}} \\\\ &=\dfrac13\displaystyle\int\goldD{\sin(}\greenD{u}\goldD )\purpleD{\,du} \\\\ &=-\dfrac13\cos(\greenD{u})+C \\\\ &=-\dfrac13\cos(\greenD{3x+5})+C \end{aligned}

Ключов извод: Понякога трябва да умножим или разделим целия интеграл с константа, за да получим подходящ израз за заместване, без да променяме стойността на интеграла.

Задача 3

integral, left parenthesis, 2, x, plus, 7, right parenthesis, cubed, d, x, equals, question mark

(Избор А)
start fraction, left parenthesis, 2, x, plus, 7, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript, divided by, 2, end fraction, plus, C
(Избор Б)
start fraction, left parenthesis, 2, x, plus, 7, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction, plus, C
(Избор В)
start fraction, left parenthesis, 2, x, plus, 7, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript, divided by, 8, end fraction, plus, C
(Избор Г)
start fraction, left parenthesis, 2, x, plus, 7, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript, divided by, 16, end fraction, plus, C

Искаш ли да се упражняваш още? Пробвай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.