Основно съдържание
Интегрално смятане
Курс: Интегрално смятане > Раздел 1
Урок 13: Интегриране чрез заместване- Интегриране чрез заместване: въведение
- Интегриране чрез заместване: умножение с константа
- Интегриране чрез заместване: дефиниране на 𝘶
- Интегриране чрез заместване: дефиниране на 𝘶 (примери)
- Интегриране чрез заместване
- Интегриране чрез заместване: дефиниране на 𝘶
- Интегриране чрез заместване: рационална функция
- Интегриране чрез заместване: логаритмична функция
- Интегриране чрез заместване: упражнения за затвърдяване
- Интегриране чрез заместване: неопределен интеграл
- Интегриране чрез заместване: определен интеграл
- Интегриране чрез заместване на определени интеграли
- Интегриране чрез заместване: определен интеграл
- Интегриране чрез заместване: определен интеграл от показателна функция
- Интегриране чрез заместване: специално приложение
- Интегриране чрез заместване: двойно заместване
- Интегриране чрез заместване: по-сложно приложение
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Интегриране чрез заместване
Интегрирането чрез заместване всъщност обръща правилото за диференциране на сложна функция. С други думи, помага ни за интегриране на сложни функции.
Когато търсим примитивни функции, ние всъщност извършваме "обратно диференциране." Някои случаи са доста очевидни. Например знаем, че производната на start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54 е start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, следователно integral, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, d, x, equals, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, plus, C. Можем да използваме този подход и с други основни функции като sine, left parenthesis, x, right parenthesis, e, start superscript, x, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, end fraction и други.
Други случаи, обаче, не са толкова прости. Например на колко е равно integral, cosine, left parenthesis, 3, x, plus, 5, right parenthesis, d, x? Подсказка: не е sine, left parenthesis, 3, x, plus, 5, right parenthesis, plus, C. Опитай се да диференцираш това и ще видиш защо.
Един метод, който може да бъде много полезен, е заместването, което по същество прилага наобратно правилото за диференциране на сложна функция.
Интегриране чрез заместване при неопределен интеграл
Представи си, че трябва да решим integral, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab. Забележи, че start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab е производната на start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, което е "вътрешната" функция в тази сложна функция start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10. С други думи, замествайки start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #1fab54 и start color #e07d10, w, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, получаваме:
Това ни подсказва, че трябва да заместим. Нека видим как става.
Първо диференцираме уравнението start color #1fab54, u, equals, x, squared, end color #1fab54 спрямо x, като разглеждаме u като неявна функция на x.
В последния ред умножихме уравнението по d, x и изолирахме d, u. Това е малко нестандартно, но ще е полезно за следващата ни стъпка. Имаме start color #1fab54, u, equals, x, squared, end color #1fab54 и start color #7854ab, d, u, equals, 2, x, d, x, end color #7854ab. Сега можем да извършим заместване в интеграла:
След заместването ни остава израз за примитивната функция на start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10 спрямо u. Колко удобно! cosine, left parenthesis, u, right parenthesis е основна функция, следователно можем да намерим нейната примитивна функция по лесен начин. Единственото, което остава да направим, е да върнем функцията да е спрямо x:
В заключение, integral, 2, x, cosine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, d, x е sine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, plus, C. Можеш да диференцираш sine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, plus, C, за да се увериш, че това е вярно.
Ключов извод #1: Заместването е просто прилагане на обратно на правилото за диференциране на сложна функция:
- Според правилото за диференциране на сложна функция производната на start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10 е start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab.
- При заместването взимаме израз от вида start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab и намираме неговата примитивна функция start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10.
Ключов извод #2: Заместването ни помага при опростяването на сложни изрази, като превръщаме "вътрешната" функция в променлива.
Често срещана грешка: получаване на грешни изрази за u или d, u
Избирането на грешен израз за u ще доведе до грешен отговор. Например в упражнение 1 u трябва да се дефинира като 2, x, cubed, plus, 5. Определянето на u като 6, x, squared или left parenthesis, 2, x, cubed, plus, 5, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript, никога няма да проработи.
Запомни: За да можем да заместваме, трябва да можем да запишем подинтегралната функция като start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab. Тогава u трябва да се дефинира като вътрешната функция на сложната функция.
Друга важна стъпка в този процес е решаването на d, u. Увери си, че диференцираш правилно u, защото грешен израз за d, u ще доведе до грешен отговор.
Често срещана грешка: да не осъзнаеш, че трябва да заместиш
Запомни: Когато интегрираме сложна функция, не можем просто да сметнем примитивната функция на външната функция. Трябва първо да заместим.
Ако W е примитивна функция на w, тази точка може математически да се изрази като:
Друга често срещана грешка: да объркаш вътрешната функция и производната ѝ
Да си представим, че решаваш integral, x, squared, cosine, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, d, x. Може да кажеш, че "тъй като 2, x е производната на x, squared, можем да използваме заместване." Всъщност, тъй като при заместването се взима производната на вътрешната функция, x, squared трябва да е производната на 2, x, за да проработи заместването. Тъй като не е така, не можем да заместим.
Понякога трябва да умножим/разделим интеграла с константа.
Представи си, че трябва да решим integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab. Забележи, че тъй макар и да имаме сложна функция start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, тя не е умножена по нищо. Това може да изглежда странно в началото, но нека продължим и да видим какво ще стане.
Ако start color #1fab54, u, equals, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, тогава start color #7854ab, d, u, equals, 3, d, x, end color #7854ab. Сега заместваме u в интеграла, но не преди да извършим тази хитра операция:
Видя ли какво направихме? За да имаме start color #7854ab, 3, d, x, end color #7854ab като подинтегрална функция, умножихме целия интеграл по start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. Това ни позволява да заместим, като в същото време запазваме стойността на интеграла.
Нека продължим със заместването:
Ключов извод: Понякога трябва да умножим или разделим целия интеграл с константа, за да получим подходящ израз за заместване, без да променяме стойността на интеграла.
Искаш ли да се упражняваш още? Пробвай това упражнение.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.