Основно съдържание

Курс: Интегрално смятане > Раздел 1

Урок 13: Интегриране чрез заместване

Интегриране чрез заместване на определени интеграли

Заместването в определен интеграл става по много подобен начин на това в неопределен интеграл, но има допълнителна стъпка: взимаме предвид границите на интегриране. Нека видим какво означава това, като решим

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x

Забелязваме, че

2 x

производната на

x^{2} + 1

, затова можем да заместим. Ако

u = x^{2} + 1

, тогава

d u = 2 x d x

. Сега заместваме:

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \int_{1}^{2} (u)^{3} d u

Чакай малко! Границите на интегриране бяха определени за

x

, а не за

u

. Помисли върху това графично. Търсехме площта под кривата

y = 2 x (x^{2} + 1)^{3}

между

x = 1

x = 2

След като променихме кривата на

y = u^{3}

, защо границите да останат същите?

Начертани са

y = 2 x (x^{2} + 1)^{3}

y = u^{3}

. Можеш да видиш, че площта под кривите между

x = 1

x = 2

(или

u = 1

u = 2

) е много различна по големина.

Наистина границите не трябва да останат същите. За да намерим новите граници, трябва да намерим какви стойности на

u

отговарят на

x^{2} + 1

за

x = 1

x = 2

Долна граница: $(1)^{2} + 1 = 2$ ‍
Горна граница: $(2)^{2} + 1 = 5$ ‍

Сега можем правилно да заместим:

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \int_{2}^{5} (u)^{3} d u

y = u^{3}

е начертана с площ от

u = 2

до

u = 5

. Сега можем да видим, че оцветените площи изглеждат приблизително еднакви по размер (всъщност те са абсолютно същите по размер, но е трудно да се каже само с гледане).

От тук можем да решим всичко спрямо

u

\begin{aligned} \int_{2}^{5} u^{3} d u & = {[\frac{u^{4}}{4}]}_{2}^{5} \\ = \frac{5^{4}}{4} - \frac{2^{4}}{4} \\ = 152, 25 \end{aligned}

Всъщност можеш да направиш и друго нещо: да запазиш границите на интегриране същите, но да се увериш, че заместваш

x

, преди да сметнеш определения интеграл.

Ето така щеше да изглежда в нашия пример:

\begin{aligned} \int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x \\ = \int_{x = 1}^{x = 2} (u)^{3} d u \\ = {[\frac{u^{4}}{4}]}_{x = 1}^{x = 2} \\ = {[\frac{(x^{2} + 1)^{4}}{4}]}_{1}^{2} \\ = \frac{[2^{2} + 1]^{4}}{4} - \frac{[1^{2} + 1]^{4}}{4} \\ = \frac{5^{4}}{4} - \frac{2^{4}}{4} \\ = 152, 25 \end{aligned}

Запомни: Когато заместваме в определен интеграл, винаги трябва да взимаме предвид границите на интегриране.

Задача 1

Ела трябвало да реши

\int_{1}^{5} (2 x + 1) (x^{2} + x)^{3} d x

. Това е нейното решение:

Стъпка 1: Нека

u = x^{2} + x

Стъпка 2:

d u = (2 x + 1) d x

Стъпка 3:

\int_{1}^{5} (2 x + 1) (x^{2} + x)^{3} d x = \int_{1}^{5} u^{3} d u

Стъпка 4:

\begin{aligned} \int_{1}^{5} u^{3} d u & = {[\frac{u^{4}}{4}]}_{1}^{5} \\ = \frac{5^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4} \\ = 156 \end{aligned}

Вярно ли е решението на Ела? Ако не е, каква е нейната грешка?

(Избор А)
Решението на Ела е вярно.
(Избор Б)
Стъпка 1 е грешна. Ела трябваше да дефинира $u$ ‍ като $2 x + 1$ ‍.
(Избор В)
Стъпка 3 е грешна. Ела не е сменила границите на интегриране.
(Избор Г)
Стъпка 4 е грешна. Примитивната функция на $u^{3}$ ‍ не е $3 u^{2}$ ‍.

Задача 2

\int_{1}^{2} 15 x^{2} (x^{3} - 7)^{4} d x = ?

Искаш ли да се упражняваш още? Пробвай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.