If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Интегрално смятане

Курс: Интегрално смятане > Раздел 1

Урок 13: Интегриране чрез заместване
Математика
Интегрално смятане
Интеграли
Интегриране чрез заместване
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Интегриране чрез заместване на определени интеграли

Класна стая на Google
Заместването в определен интеграл става по много подобен начин на това в неопределен интеграл, но има допълнителна стъпка: взимаме предвид границите на интегриране. Нека видим какво означава това, като решим integral, start subscript, 1, end subscript, squared, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab.
Забелязваме, че start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab производната на start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, затова можем да заместим. Ако start color #1fab54, u, equals, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, тогава start color #7854ab, d, u, equals, 2, x, d, x, end color #7854ab. Сега заместваме:
integral, start subscript, 1, end subscript, squared, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab, equals, integral, start subscript, 1, end subscript, squared, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, u, end color #7854ab
Чакай малко! Границите на интегриране бяха определени за x, а не за u. Помисли върху това графично. Търсехме площта под кривата start color #11accd, y, equals, 2, x, left parenthesis, x, squared, plus, 1, right parenthesis, cubed, end color #11accd между x, equals, 1 и x, equals, 2.
Дадена е графиката на функцията y = 2 x, лява скоба, x на квадрат + 1, дясна скоба, на трета степен. Оста х е разграфена от 0 до 3. Графиката представлява крива. Кривата започва във втори квадрант, издига се нагоре, като се отдалечава от оста х към точката (2; 500). Областта между кривата и оста х между x = 1 и x = 2 е оцветена.
След като променихме кривата на start color #aa87ff, y, equals, u, cubed, end color #aa87ff, защо границите да останат същите?
Дадени са графиките на функциите y = 2 x, лява скоба, х на втора степен + 1, дясна скоба, на трета степен, и функцията y = u на трета степен. Графиката на функцията y = u на трета степен започва от втори квадрант, издига се над оста х и завършва приблизително в точката (3; 27).
Начертани са start color #11accd, y, equals, 2, x, left parenthesis, x, squared, plus, 1, right parenthesis, cubed, end color #11accd и start color #aa87ff, y, equals, u, cubed, end color #aa87ff. Можеш да видиш, че площта под кривите между x, equals, 1 и x, equals, 2 (или u, equals, 1 и u, equals, 2) е много различна по големина.
Наистина границите не трябва да останат същите. За да намерим новите граници, трябва да намерим какви стойности на start color #1fab54, u, end color #1fab54 отговарят на start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54 за x, equals, start color #ca337c, 1, end color #ca337c и x, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c:
  • Долна граница: left parenthesis, start color #ca337c, 1, end color #ca337c, right parenthesis, squared, plus, 1, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c
  • Горна граница: left parenthesis, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis, squared, plus, 1, equals, start color #ca337c, 5, end color #ca337c
Сега можем правилно да заместим:
integral, start subscript, start color #ca337c, 1, end color #ca337c, end subscript, start superscript, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, end superscript, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab, equals, integral, start subscript, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, end subscript, start superscript, start color #ca337c, 5, end color #ca337c, end superscript, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, u, end color #7854ab
Дадени са графиките на функциите y = 2 x, лява скоба, х на втора степен + 1, дясна скоба, на трета степен, и на y = u на трета степен. Оста х е разграфена от 1 до 6. И двете криви се издигат нагоре, отдалечавайки се от оста х. Графиката на първата функция завършва в точката (2; 500). Областта между кривата и оста х между x = 1 и x = 2 е оцветена. Втората функция завършва приблизително в точката (6; 210). Областта между кривата и оста х между x = 1 и x = 5 е оцветена. Двете оцветени области изглеждат еднакви по размер.
start color #aa87ff, y, equals, u, cubed, end color #aa87ff е начертана с площ от u, equals, 2 до u, equals, 5. Сега можем да видим, че оцветените площи изглеждат приблизително еднакви по размер (всъщност те са абсолютно същите по размер, но е трудно да се каже само с гледане).
От тук можем да решим всичко спрямо u:
∫25u3 du=[u44]25=544−244=152,25\begin{aligned} \displaystyle\int_{2}^5 u^3\,du&=\left[\dfrac{u^4}{4}\right]_{2}^5 \\\\ &=\dfrac{5^4}{4}-\dfrac{2^4}{4} \\\\ &=152{,}25 \end{aligned}
Запомни: Когато заместваме в определен интеграл, винаги трябва да взимаме предвид границите на интегриране.
Задача 1
Ела трябвало да реши integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, plus, x, right parenthesis, cubed, d, x. Това е нейното решение:
Стъпка 1: Нека u, equals, x, squared, plus, x
Стъпка 2: d, u, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, d, x
Стъпка 3:
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, plus, x, right parenthesis, cubed, d, x, equals, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, u, cubed, d, u
Стъпка 4:
∫15u3du=[u44]15=544−144=156\begin{aligned} \displaystyle\int_1^5 u^3du&=\left[\dfrac{u^4}{4}\right]_1^5 \\\\ &=\dfrac{5^4}{4}-\dfrac{1^4}{4} \\\\ &=156 \end{aligned}
Вярно ли е решението на Ела? Ако не е, каква е нейната грешка?
Избери един отговор:

Задача 2
integral, start subscript, 1, end subscript, squared, 15, x, squared, left parenthesis, x, cubed, minus, 7, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript, d, x, equals, question mark
Избери един отговор:

Искаш ли да се упражняваш още? Пробвай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.