Основно съдържание

Урок 13: Интегриране чрез заместване

Интегриране чрез заместване: упражнения за затвърдяване

Преди да навлезем в нашето практическо упражнение, сдобий се с малко безрисков опит в интегрирането чрез заместване.

Реши всички неопределени интеграли.

Задача 1

\int \cos (x^{2}) 2 x d x =

+ C

Забележи, че

2 x

е производната на

x^{2}

. Ако

u = x^{2}

, тогава

d u = 2 x d x

и можем да заместим, за да получим по-прост интеграл.

\int \cos (x^{2}) 2 x d x = \int \cos (u) d u

Сега можем да намерим примитивната функция:

\begin{aligned} = \int \cos (u) d u \\ = \sin (u) + C \\ = \sin (x^{2}) + C & Заместваме с u \end{aligned}

Следователно

\int \cos (x^{2}) 2 x d x = \sin (x^{2}) + C

Можем да диференцираме

\sin (x^{2}) + C

, за да проверим решението си.

\int \frac{3 x^{2}}{(x^{3} + 3)^{2}} d x =

+ C

Забележи, че

3 x^{2}

е производната на

x^{3} + 3

. Ако

u = x^{3} + 3

, тогава

d u = 3 x^{2} d x

, и можем да заместим, за да получим по-прост интеграл.

\begin{aligned} \int \frac{3 x^{2}}{(x^{3} + 3)^{2}} d x & = \int \frac{1}{(x^{3} + 3)^{2}} \cdot 3 x^{2} d x \\ = \int \frac{1}{u^{2}} d u \end{aligned}

Сега можем да намерим примитивната функция:

\begin{aligned} = \int \frac{1}{u^{2}} d u \\ = - \frac{1}{u} + C \\ = - \frac{1}{x^{3} + 3} + C & Заместваме с u \end{aligned}

Следователно

\int \frac{3 x^{2}}{(x^{3} + 3)^{2}} d x = - \frac{1}{x^{3} + 3} + C

Можем да диференцираме

- \frac{1}{x^{3} + 3} + C

, за да проверим решението си.

\int e^{4 x} d x =

+ C

\int x \cdot \sqrt{\frac{1}{6} x^{2} + 1} d x =

+ C

Ако

u = \frac{1}{6} x^{2} + 1

, тогава

d u = \frac{1}{3} x d x

x d x = 3 d u

След заместване интегралът става:

\begin{aligned} \int x \cdot \sqrt{\frac{1}{6} x^{2} + 1} d x & = \int \sqrt{\frac{1}{6} x^{2} + 1} \cdot x d x \\ = \int \sqrt{u} \cdot 3 d u \\ = 3 \int \sqrt{u} d u \end{aligned}

Сега можем да намерим примитивната функция:

\begin{aligned} = 3 \int \sqrt{u} d u \\ = 3 \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C \\ = 2 {(\frac{1}{6} x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C & Заместваме с u \end{aligned}

Следователно

\int x \cdot \sqrt{\frac{1}{6} x^{2} + 1} d x = 2 {(\frac{1}{6} x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C

Сортирай по:

Все още няма публикации.