Интегриране чрез заместване: по-сложно приложение

Тъкмо разглеждах дискусиите в страницата на Кан Академия във Фейсбук, където Бъд Дени прави запитване за решение на следната задача. Задача, към която има голям интерес. Неопределен интеграл от 2 на степен натурален логаритъм от х, цялото върху х, dx. На страницата Аби Кана също дава решение, което е вярно, но понеже има голям интерес към задачата, реших да запиша кратък урок. Когато видиш такава задача, в която имаш натурален логаритъм в числителя като степен, се чудиш откъде да започнеш. И тук може би първото, което ще ти хрумне, е, че това е същото като интеграл от 1/х, умножено по 2 на степен натурален логаритъм от х, dx. Получава се израз, който е един вид част от по-голяма функция, на който имаме производната. Нека да го запиша ето тук. Знаем, че производната спрямо х от натурален логаритъм от х, е равна на 1/х. Имаме един израз и производната му, което ни подсказва, че може да интегрираме със заместване. Понякога може и без това, но тази задача не е чак толкова проста, за да я решим наум. Нека да направим заместването. Нека положим (заместим) степенния показател да е u. Нека го направим. Нека дефинираме u. Не е нужно да е буква "u". Просто е прието да се нарича u-субституция (на англ.). Може да бъде и s-субституция, ако пожелаем. Нека u е равно на натурален логаритъм от х. Сега du/dx, т.е. производната на u спрямо x, разбира се, е равна на 1/х. Ако умножим двете страни по dx, то диференциалът du, е равен на 1/х, dx. Нека да приложим заместването. Това е нашият интеграл. Получава се неопределен интеграл или примитивна функция, но вече от 2 на степен u, умножено по 1/х, dx. А на какво е равно 1/x, dx? Това е просто du. Този член по този член, е равно на du. Нека го запиша с друг цвят. 1/х, dx е равно на du. Тоест на този израз ето тук. Все още обаче не изглежда като лесен интеграл, въпреки че е малко опростен. Когато имаме променлива в степенния показател, спрямо която интегрираме, е трудно да се справим с нея. Единственият случай, за който се досещам, в който х или променливата, която интегрирам, е в степенния показател, това е е на степен х. Знаем, че интеграл от е на степен х, dx е равно на е на степен х плюс С. Следователно, ако мога да приведа този интеграл към е на степен х, или е на степен u, то може би ще се опрости малко. Нека да видим. Как да преобразуваме този израз? На какво всъщност е равно 2? 2 е същото нещо като е на степен натурален логаритъм от 2. Натурален логаритъм от 2 е степента, на която следва да повдигнеш числото е, за да получиш 2. Тоест, ако повдигнеш е на тази степен, ще получиш 2. Това следва от определението за натурален логаритъм. Повдигаш е на степен натурален логаритъм от 2 и получаваш 2. Нека запишем отново интеграла чрез това равенство. Не е редно, но може да го наречем полагане. Това е просто различен начин да запишем числото 2. Получава се следното. Вместо да запишем числото 2, ще запишем е на степен натурален логаритъм от 2. И цялото това е на степен u, du. А сега на какво е равен този израз? Ако повдигна нещо на степен, а след това цялото на друга степен, то това е същото като да повдигна основата на произведението от двете степени. Нека да сменя цветовете. Този израз е равен на интеграл от е на степен u... или нека го запиша по следния начин: e на степен натурален логаритъм от 2, умножено по u. Просто умножавам двата степенни показателя. Повдигаме нещо на степен и цялото на друга степен. Знаем от свойствата на степените, че това е равно на произведението от двете степени. du Това тук е константа. Може да бъде просто някакво число. Може да използваме калкулатор, за да го изчислим. А може и да го положим да е равно на a. Сравнително лесно решаваме този интеграл, когато е записан в следния вид. Примитивната функция от е на степен a по u, du, е равна на 1/а по e на степен a по u. Това следва от дефиницията тук горе и верижното правило. Разбира се прибавяме и константа. Ако изчислим производната на този израз, то производната на степенния показател ще бъде равна на а. Умножаваме го по 1/а, съкращават се и остава само е на степен а по u. Следователно това равенство е вярно. Тогава примитивната функция на този израз тук ще бъде равна на 1/а, т.е. 1 върху константата, или 1 върху натурален логаритъм от 2, умножено по целия израз под интеграла. Сега ще направя нещо. Това е просто някакво число по u, така че мога да го запиша като u, умножено по някакво число. Просто ще го приведа във вид, който да ни помогне да опростим този израз. Имаме е на степен u, умножено по натурален логаритъм от 2. Просто размених местата на множителите в степента. Можех да го запиша като е на степен натурален логаритъм от 2 по u. Ако това е число а, то u по а, е същото като a по u. Плюс константа С. Следователно това е отговорът, но сега следва да заместим положеното за u, за да завършим намирането на примитивната функция спрямо х. Преди това обаче нека проверим дали не може да опростим още малко този израз. Нека си припомним свойствата на логаритмите и имаме а по натурален логаритъм от b. Знаем, че това е равно на същото като натурален логаритъм от b на степен а. Поставям разделителна линия тук. Вярно ли е това? Числото а става степен на това, от което изчисляваме натурален логаритъм. Нека го запиша ето тук. u, умножено по натурален логаритъм от 2, е същото нещо като натурален логаритъм от 2, умножено по u. Тогава може да запишем, че примитивната функция е равна на 1 върху натурален логаритъм от 2 – това е тази час тук – умножено по е на степен, която ще преобразувам, основано на свойствата на логаритмите, като натурален логаритъм от 2 на степен u. Разбира се има и едно плюс С. А на какво е равно е, повдигнато на степен натурален логаритъм от 2 на степен u? Натурален логаритъм от 2 на степен u, е степента, на която следва да повдигнем e, за да получим 2 на степен u, нали така? По дефиниция! Тогава, ако повдигнем е на тази степен, какво ще получим? Ще получим 2 на степен u. Следователно този израз е равен на 1 върху натурален логаритъм от 2. А този член се опростява до 2 на степен u. Записал съм го ето тук. Натурален логаритъм от а, мога просто да го запиша в общ вид. Нека го направя, въпреки че вероятно не е необходимо. По принцип може да представим всяко число а като равно на е на степен натурален логаритъм от а. Това е степента, на която следва да повдигнем е, за да получим а. Ако повдигнем е на тази степен, ще получим а. Тоест е на степен натурален логаритъм от 2 на степен u, e 2 на степен u. Прибавям и константата, разбира се. Сега можем да заместим обратно положения израз. На какво положихме да е равно u? Дефинирахме u да е равно на натурален логаритъм от х. Нека сега заместим обратно това, на което е равно. Ще запишем отговора на първоначалното уравнение. Нека го запиша на чисто, защото е много приятно да видиш решението на тази сравнително сложна задача. Интеграл от 2 на степен натурален логаритъм от х, върху х, dx. Открихме, че това е равно на следното. Просто заместваме u с натурален логаритъм от х, защото това положихме. 1 върху натурален логаритъм от 2, умножено по 2 на степен натурален логаритъм от х, плюс С. И сме готови. Този израз не е в знаменател. Така записано може да е малко объркващо. И сме готови! Това е една много хубава задача, за която благодаря на Бъд, че ни предостави.