Интегриране чрез заместване: двойно заместване

Нека опитаме да намерим интеграл от косинус от 5 по х върху е на степен синус от 5 по х, dx. Има някакъв гарван, който грачи пред прозореца ми, но ще се постарая да запазя вниманието си. Нека да помислим дали интегрирането със заместване е приложимо в дадената задача. Може би първата ти идея е да положим (заместим) u да е равно на синус от 5 по х. Ако u е равно на синус от 5 по х, то в числителя имаме нещо много близко до du. Нека да го проверим. du/dx, т.е. производната на u спрямо х е равна следното. Просто ще използваме верижното правило. Производна от 5 по х е равна на 5. Следва по производна от синус от 5 по х спрямо 5 по х, което ще бъде равно на косинус от 5х. Ако искаме да запишем това в диференциална форма – което е полезно, когато интегрираме със заместване – може да запишем, че du е равно на 5 по косинус от 5 по х. В дадения интеграл обаче виждаме, че не присъства точно du. Имаме само косинус от 5 по х, dx. О, извинявай, тук е косинус от 5х, dx. Ето така. В първоначалния израз имаме косинус от 5х, dx, но нямаме 5 по косинус от 5 по х, dx. Ние обаче знаем как да се справим с това. Може да умножим по 5 и да разделим на 5. 1/5 по 5 ще ни даде 1. Следователно не променяме стойността на израза. Когато направим това, става ясно, че имаме u ето тук, но имаме и своето du. du е равно на следното. Нека да го оградя. Нека да е със синьо. du е 5 по косинус от 5х, dx. Може да преобразуваме целия този израз. 1/5 ще запиша с лилаво. Получава се равно на 1/5 – надявам се, че не чуваш гарвана пред прозореца ми. Започва да става много неприятен. 1/5 по интеграл от ограденото в синьо, което е du. И това е върху e на степен u. e на степен u. Как да намерим примитивната функция на този израз? Какво смяташ да направиш сега? Все още не сме привели израза във вид за изчисление на примитивната му функция. Може да го преобразуваме като равно на 1/5 по интеграл от е на степен минус u, du. е на степен минус u, du. Сега може би се досещаш, че може да направим още едно полагане. Вече имаме буква u, така че нека сега използваме w. Ще направим заместване с w. Може би можеш да решиш задачата без второ полагане, но ще използваме заместване с w, за да стане още по-ясно. Щеше да е по-лесно, ако този израз беше просто e на степен u, защото знаем, че примитивната му функция е просто e на степен u. Нека да го приведем във вида e на степен, а не e на отрицателна степен. Нека изберем следното нещо. Свършват ми цветовете. Нека положим w да е равно на минус u. В такъв случай dw, т.е. производната на w спрямо u, е равна на минус 1. Ако искаме да го запишем в диференциална форма, dw е равно на du, умножено по минус 1, което е равно на минус du. Тогава това тук ще бъде избраното w. А имаме ли dw под интеграла? Е, имаме само du. Нямаме минус du тук. Може да получим минус du, ако умножим израза под интеграла по минус 1, а след това умножим пред интеграла по минус 1. Минус 1 по минус 1 е равно на плюс 1. Не променяме стойността на израза. Следва да умножим два пъти по минус 1, за да има смисъл. Тоест правим следното нещо. Записвам минус 1 ето тук и минус 1 ето там. По този начин това минус 1 по du, е равно на минус du. Този израз за dw е равен на това du по минус 1 тук. Нека преобразуваме интеграла. Сега имаме отпред минус 1/5. Минус 1/5. Опитвам се да съчетавам цветовете по най-подходящия начин. Минус 1/5, умножено по неопределен интеграл от – сега вместо минус u, може да запишем w – е на степен w. И вместо du, умножено по минус 1, т.е. du, може да запишем dw. Това доста опростява израза. Знаем на какво е равна примитивната функция на израза спрямо w. Ще бъде равна на минус 1/5 по е на степен w. Може да има някаква константа тук, така че ще запиша плюс C. Остава само да заместим обратно положените изрази. Знаем, че w е равно на минус u. Може да го запишем. Получава се минус 1/5... искам да запазя същите цветове... умножено по е на степен минус u. Защото на това е равно w. Плюс С. Все още не сме приключили обаче с обратното заместване. Знаем, че u е равно на синус от 5 по х. u е равно на синус от 5 по х. Следователно може да запишем, че това е равно на минус 1/5, умножено по е на степен минус u, а u е равно на синус от 5 по х. И накрая имаме плюс константата C. Възможен е и по-опростен начин за решение на този интеграл, като използваме само едно заместване. Така обаче щеше да се наложи предварително да прецениш, че е много важно да намериш примитивната функция на e на степен минус u. Може би те е осенила следната идея. Недей се упреквай, ако не е било така. Можеше да преобразуваме първоначалния интеграл ето така. Дадено е косинус от 5 по х върху е на степен синус от 5 по х, dx. Възможно беше да запишем този интеграл като равен на косинус от 5 по х, умножено по е на степен минус синус от 5 по х, dx. Сега може да положим u да е равно на минус синус от 5 по х. u е равно на минус синус от 5 по х. Ако u е равно на минус синус от 5 по х, то du ще бъде равно на минус 5 по косинус от 5х. О, забравих за dx! Нямаме обаче минус 5 тук, но може да получим, ако умножим по минус 5, а след това умножим и по минус 1/5. Това незабавно би опростило този интеграл да е равен на минус 1/5, умножено по интеграл от следното. Трябва да изчислим и du. Нека го запиша с друг цвят. Имаме своето du. Включва минус 5... нека го направя ето така: минус 5 по косинус от 5х, dx. На това е равно du. Просто променям реда на умножение. Умножено по e на степен u. Ето сега обаче целият този израз е равен на u. Ако бяхме подходили по този начин, то само с едно заместване директно щяхме да получим желания резултат. Сега търсим примитивната функция на този интеграл. Ще го направя със същия цвят, защото смятам, че разбираш основната идея. Равно е на минус 1/5 по е на степен u, плюс С. u е равно на минус синус от 5х. Заместваме и се получава минус 1/5 по е на степен минус синус от 5х, плюс С. И сме готови. По този начин е по-бързо. И по-просто. С малко повече опит, може би дори ще започнеш да го прилагаш директно наум. Така както го решихме обаче не е грешно, т.е. като положихме u да е равно на синус от 5х. Просто трябваше да направим допълнително полагане, за да достигнем до крайния резултат. А пък аз успях да запиша този урок, въпреки този грачещ гарван отвън.