Интегриране чрез заместване: въведение

Даден е неопределеният интеграл от функцията 3 по х квадрат плюс 2 по х, умножено по е на степен х на трета плюс х квадрат, dx. Какъв подход ще изберем, за да го решим? На пръв поглед изглежда като наистина сложен интеграл. Имаме този полином ето тук, който е умножен по ето този израз със степен. А ето тук в степента всъщност имаме още един полином. Изглежда доста странно. Ключовото нещо тук, което да се досетим, е, че може да използваме метод, наречен интегриране със заместване. Само след секунда ще ти обясня как разбрах, че трябва да използваме интегриране със заместване. С известен опит може би дори ще можеш да го правиш наум. Интегрирането със заместване всъщност е разновидност на верижното правило. За това обаче ще стане дума в следващ урок, където наистина ще обясня как да се досещаш за този метод. Разсъждавам за дадения израз по следния начин. Имам ето тази странна степен тук. х на трета плюс х квадрат. А този израз в скобите всъщност е производната на х на трета плюс х квадрат. Производната на х на трета е 3 по х квадрат. Производната на х квадрат е 2 по х. Ето това е признак, че може да използвам интегриране със заместване. Виждам ето този израз в степенния показател и това, че производната му присъства тук в скобите. Полагам (замествам) този израз да е равен на u. Може да се каже, че u е равно на х на трета плюс х квадрат. Тогава на какво ще бъде равна производната на u спрямо х? Тоест du/dx. Разглеждали сме това множество пъти. Ще бъде равна на 3 по х квадрат плюс 2 по х. А сега може да го запишем с диференциали. du/dx всъщност не е дробно число, т.е. du, разделено на dx. Това е просто начин на запис, но често е полезно да бъде възприеман като дробно число. Действително може да го разглеждаш така, ако искаш да намериш израз на отношението между диференциалите. Тоест с колко се изменя u за определено изменение на x? Може да умножиш двете страни по dx. Умножаваме двете страни по dx. Ако приемем, че това са дробни числа, то ще получим правилната диференциална форма. Ще ни остане, че du е равно на 3 по х квадрат плюс 2 по х, dx. Как ще използваме този израз? Защо преминах през това да достигна до него? Виждаме, че имаме 3 по х квадрат плюс 2 по х, а след това е умножен по dx ето тук. Мога да запиша интеграла по друг начин. Мога да запиша този интеграл по следния начин. Нека да е със същия цвят. 3 по х квадрат плюс 2 по х, умножено по dx. Нека другото да е с различен цвят. Умножено по e на степен х на трета плюс х квадрат. Какво е интересното при този запис? Изразът, който имам в лилаво, е точно равен на du. Равен е на абсолютно същото като du. А ето този израз, който имам тук, х на трета плюс х квадрат, е точно това, на което положихме да е равно u. Това ще бъде равно на u. Сега отново ще запиша по друг начин целия интеграл. Сега вече става ясно защо полагането доста ще опрости задачата. Ще бъде равно на следното. Сега обаче ще променя реда на записване. Ще поставя du, т.е. този израз, от другата страна ето тук, за да изглежда повече като стандартния вид на неопределен интеграл, който сме свикнали да виждаме. Имаме това du, умножено по e на степен u По e на степен u. На какво ще бъде равна примитивната функция на този израз спрямо u? Производната на е на степен u е равна на е на степен u. Тогава примитивната функция на е на степен u е равна на е на степен u. Следователно ще бъде равно на е на степен u. Има вероятност тук да има някаква константа, така че нека я прибавя. Записвам плюс C. За да получим сега израза като функция на х просто следва отново да заместим положеното за u. Знаем на какво е равно u, така че може да кажем, че това ще бъде равно на следното. Имам e, a вместо да записвам u, го замествам с х на трета плюс х квадрат. u е равно на х на трета плюс х квадрат. След това прибавяме константата C. И сме готови! Намерихме примитивната функция. Насърчавам те да намериш производната на този израз. Предполагам, че ще използваш верижното правило, и отново ще достигнеш до израза, който имахме ето тук.